برای شمارش حالتهای ممکن در تمرین تیزهوشان، ابتدا روشن کنید چه چیزی یک حالت را از حالت دیگر متفاوت می‌کند؛ سپس یک انتخاب را ثابت نگه دارید و همه انتخاب‌های مجاز بعدی را بنویسید. در پایان، هم شرط‌های سؤال را کنترل کنید و هم نبودِ تکرار را. این روش برای دانش‌آموز ششم و نهم، نقطه شروعی برای حل مسئله‌های شمارشی است. همه مثالهای این راهنما تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
پیش از شمردن، یک حالت کامل را تعریف کنید
فرض کنید می‌خواهیم با رقم‌های ۱، ۲ و ۴ عدد دو رقمی بسازیم و استفاده دوباره از یک رقم مجاز نیست. یک حالت کامل، عددی است که هم دهگان و هم یکان آن مشخص باشد؛ نوشتن فقط رقم دهگان هنوز یک پاسخ کامل نیست. عددهای ۱۲ و ۲۱ دو حالت متفاوتاند، چون جای رقم‌ها ارزش عدد را تغییر میدهد.
پیش از شروع، خواسته و محدودیت‌ها را جدا بنویسید. اگر درباره مجاز بودن تکرار یا اهمیت ترتیب ابهام دارید، متن را دوباره بخوانید؛ پاسخ یک مسئله فرضی دیگر را به سؤال تحمیل نکنید.
- چه چیزی می‌سازیم یا انتخاب می‌کنیم؟
- چه گزینه‌هایی برای هر جایگاه داریم؟
- آیا استفاده دوباره از یک گزینه مجاز است؟
- آیا جابه‌جایی دو انتخاب، حالت تازه‌ای می‌سازد؟
- کدام شرط باید در پاسخ نهایی برقرار باشد؟
اگر سؤال کمترین برداشت برای رسیدن حتمی به یک حالت را می‌خواهد، روش اصل لانه کبوتری را تمرین کنید.
برای شمارش راه‌های رسیدن روی شبکه و کنترل مانع، آموزش شمارش مسیرها را تمرین کنید.
تمرین خواندن دقیق شرطها در راهنمای سرعت و دقت تیزهوشان
پیش از فهرست‌کردن حالت‌ها، بررسی زوج و فرد را برای تشخیص بعضی حالتهای ناممکن تمرین کنید.
مثال حل‌شده: فهرست منظم به‌جای نوشتن پراکنده
در همان مسئله، دهگان را به ترتیب ۱، سپس ۲ و بعد ۴ قرار دهید. تا همه یکان‌های مجازِ یک دهگان تمام نشده‌اند، به دهگان بعدی نروید. فهرست حاصل چنین است:
- دهگان ۱: عددهای ۱۲ و ۱۴
- دهگان ۲: عددهای ۲۱ و ۲۴
- دهگان ۴: عددهای ۴۱ و ۴۲
چرا فهرست کامل است و تکرار ندارد؟
هر عدد مجاز باید با یکی از همین دهگان‌ها شروع شود و در هر ردیف، هر دو یکانِ باقی‌مانده نوشته شده‌اند؛ پس حالتی جا نیفتاده است. ردیف‌ها دهگان متفاوت دارند و داخل هر ردیف هم یکان‌ها متفاوتاند؛ پس عددی دوباره شمرده نشده است. در مجموع ۲ + ۲ + ۲ = ۶ حالت داریم.
جدول یا نمودار درختی را چگونه به کار ببریم؟
می‌توانید روی کاغذ، سرستون‌ها و نام ردیف‌ها را رقم‌های ۱، ۲ و ۴ بگذارید. ردیف را دهگان و ستون را یکان بگیرید و خانه‌های ۱۱، ۲۲ و ۴۴ را به دلیل تکرار خط بزنید. در نمودار درختی نیز شاخه نخست دهگان را نشان میدهد و شاخه بعدی یکان را؛ هر مسیر کامل فقط یک عدد می‌سازد. یکی از این نمایش‌ها کافی است، به شرط آنکه نقش ردیف یا شاخه روشن باشد.
چه زمانی جمع کنیم و چه زمانی ضرب؟
در فهرست بالا، پاسخ‌های ردیف‌های جدا را جمع کردیم. چون هر ردیف دقیقاً ۲ حالت داشت، می‌توانیم همان شمارش را به صورت ۳ × ۲ = ۶ بنویسیم. معنای ضرب این است: ۳ انتخاب برای دهگان داریم و پس از هر انتخاب، ۲ انتخاب مجاز برای یکان باقی می‌ماند.
قبل از ضرب، بررسی کنید تعداد ادامههای مجاز برای همه انتخاب‌های مرحله قبل یکسان است و هر مسیر، یک پاسخ متفاوت می‌سازد. اگر شاخهها تعداد متفاوتی دارند، آن‌ها را جدا بشمارید و جمع کنید. برای جمع‌کردن نیز گروه‌ها باید تمام پاسخها را پوشش دهند و هم‌پوشانی نداشته باشند.
با اضافه شدن شرط، شمارش را دوباره بررسی کنید
حالا در همان مسئله بخواهیم عدد ساخته‌شده از ۲۰ بزرگ‌تر باشد. ردیف دهگان ۱ کنار می‌رود و عددهای ۲۱، ۲۴، ۴۱ و ۴۲ باقی می‌مانند؛ پاسخ ۴ حالت است. نمی‌توان عدد ۶ قبلی را بدون بررسی شرط تازه نگه داشت. برای مجموعه‌ای کوچک، خط‌زدن حالتهای نامجاز در فهرست راهی روشن برای کنترل پاسخ است.
ترتیب مهم است یا فقط انتخاب اعضا؟
سه نشان متفاوت با نام‌های «ماه»، «برگ» و «موج» داریم. می‌خواهیم دو نشان متفاوت انتخاب کنیم و داخل پاکت بگذاریم؛ ترتیب انتخاب مهم نیست. حالت‌ها عبارت‌اند از: ماه و برگ، ماه و موج، برگ و موج. «برگ و ماه» همان انتخاب «ماه و برگ» است و نباید دوباره شمرده شود. پس ۳ حالت داریم.
اگر خواسته عوض شود و قرار باشد همین دو نشان را در خانه‌های مشخصِ بالا و پایین یک کارت بچینیم، جایگاه اهمیت پیدا می‌کند. ماه در بالا و برگ در پایین با برگ در بالا و ماه در پایین متفاوت است. این بار برای خانه بالا ۳ و برای خانه پایین ۲ انتخاب داریم؛ در مجموع ۶ چیدمان.
راه عملی جلوگیری از دوباره‌شمردن انتخاب‌ها
برای مسئله پاکت، ترتیب ثابتی مانند ماه، برگ، موج در نظر بگیرید. کنار هر نشان فقط نشان‌های بعد از آن را بیاورید: کنار ماه، برگ و موج؛ کنار برگ، فقط موج. این قرارداد برای ثبت پاسخ‌هاست و اجازه نمی‌دهد یک زوج با دو ترتیب نوشته شود. صرف دیدن یک جواب زوج، دلیل تقسیم‌کردن آن بر ۲ نیست؛ ابتدا باید نشان دهید هر پاسخ دقیقاً دو بار شمرده شده است.
تمرین مستقل: رقم صفر و شرط زوج بودن
با رقم‌های ۰، ۲ و ۵ چند عدد دو رقمیِ زوج می‌توان ساخت، اگر تکرار رقم مجاز نباشد؟ ابتدا خودتان فهرست را بنویسید. به یاد داشته باشید عدد دو رقمی با صفر شروع نمی‌شود و برای زوج بودن، رقم یکان باید زوج باشد.
پاسخ با دستهبندی بر اساس یکان
اگر یکان ۰ باشد، دهگان می‌تواند ۲ یا ۵ باشد: عددهای ۲۰ و ۵۰. اگر یکان ۲ باشد، دهگان نه می‌تواند ۰ باشد و نه ۲؛ فقط ۵ باقی می‌ماند و عدد ۵۲ ساخته میشود. یکان ۵ عدد را فرد می‌کند. بنابراین فهرست کامل ۲۰، ۵۰ و ۵۲ است و ۳ حالت داریم. تعداد ادامههای مجاز در دو شاخه برابر نبود؛ پاسخ را با ۲ + ۱ به دست آوردیم.
اگر تکرار مجاز شود چه چیزی تغییر می‌کند؟
با ثابت ماندن بقیه شرطها، عدد ۲۲ هم مجاز میشود. فهرست تازه ۲۰، ۲۲، ۵۰ و ۵۲ است؛ یعنی ۴ حالت. عدد ۰۰ همچنان دو رقمی نیست و ۵۵ همچنان زوج نیست. تغییر شرط تکرار، سایر شرطها را حذف نمی‌کند.
اگر پاسخ را می‌فهمید اما فهرست را مستقل نمی‌سازید، روش کار با پاسخنامه تشریحی را تمرین کنید.
خطای شمارش را به تمرین مشخص تبدیل کنید
اگر پاسختان با حل متفاوت بود، قبل از پاک کردن فهرست، محل اختلاف را پیدا کنید. «بی‌دقتی کردم» توضیح کافی نیست؛ باید معلوم شود کدام حالت جا افتاده، تکرار شده یا برخلاف شرط پذیرفته شده است.
- حالت جاافتاده: یک انتخاب را ثابت کنید و ادامه‌هایش را تا آخر بنویسید؛ سپس به انتخاب بعدی بروید.
- حالت تکراری: مشخص کنید جابه‌جایی اعضا پاسخ تازه می‌سازد یا فقط همان پاسخ را دوباره نوشته‌اید.
- حالت نامجاز: کنار آن، شرط نقض‌شده مانند تکرار ممنوع یا صفر بودن دهگان را بنویسید.
- ضرب نادرست: برای هر شاخه تعداد ادامههای مجاز را جدا یادداشت کنید و یکسان بودنشان را بسنجید.
برای کنار هم گذاشتن خطاهای تمرین‌ها، راهنمای تحلیل آزمون آزمایشی را بخوانید.
جمع‌بندی: پاسخ عددی را با دلیل کامل کنید
یک شمارش قابل دفاع باید به دو پرسش جواب بدهد: چرا هیچ حالت مجازی جا نمانده و چرا هیچ حالت یکسانی دوباره شمرده نشده است؟ برای تمرین بعدی، یکی از مثال‌ها را انتخاب کنید و فقط یک شرط آن را تغییر دهید؛ پیش از محاسبه، توضیح دهید کدام ردیف‌ها یا شاخهها عوض می‌شوند.
دانش‌آموز ششم می‌تواند با کارت‌های کاغذی و فهرست کوتاه شروع کند؛ دانش‌آموز نهم هم اگر در تشخیص ترتیب یا تکرار مشکل دارد، از همین مرحله آغاز کند و بعد سراغ شرط‌های ترکیبی برود. این عادتِ توضیح و کنترل راه‌حل در مطالعه ریاضی سال‌های بعد و پایه‌سازی برای کنکور نیز کاربرد دارد؛ درباره سهم این موضوع در آزمون یا نتیجه پذیرش وعده‌ای نمی‌دهد. والدین می‌توانند به‌جای گفتن پاسخ، از دانش‌آموز بخواهند کامل بودن فهرستش را توضیح دهد.
اگر پس از شمارش، احتمال یک نتیجه خواسته شده است، روش تشخیص حالتهای هم‌شانس را بخوانید.
جای تمرین حل مسئله در مسیر آمادگی آزمون تیزهوشان نهم به دهم
درخواست مشاوره برای آمادگی آزمون تیزهوشان از مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
برای شمارش حالتهای ممکن باید فرمول حفظ کنیم؟
برای مثالهای این راهنما، فهرست منظم کافی است. ضرب را زمانی به کار ببرید که بتوانید معنای هر عامل و تعداد ادامههای مجاز هر انتخاب را توضیح دهید؛ نام فرمول جای بررسی شرطها را نمیگیرد.
از کجا بفهمیم ترتیب انتخاب مهم است؟
دو انتخاب را جابهجا کنید و ببینید نتیجه مورد نظر سؤال عوض میشود یا نه. عددهای ۱۲ و ۲۱ متفاوتاند، اما انتخاب ماه و برگ برای یک پاکت با انتخاب برگ و ماه یکسان است.
چرا ضرب تعداد گزینهها گاهی جواب غلط میدهد؟
ممکن است بعضی ادامهها پس از انتخاب قبلی ممنوع شوند یا چند مسیر به یک پاسخ یکسان برسند. شاخهها را جدا بررسی کنید؛ در تمرین عدد زوج، یکان صفر دو ادامه مجاز داشت ولی یکان دو فقط یک ادامه داشت.
چطور مطمئن شویم حالتی جا نیفتاده است؟
پاسخها را با معیار ثابتی مانند دهگان دستهبندی کنید. همه مقدارهای مجاز آن معیار را پوشش دهید و در هر دسته تمام ادامههای مجاز را بنویسید. سپس بررسی کنید هر پاسخ فقط در یک دسته قرار میگیرد.