برای استفاده از زوج و فرد در مسائل تیزهوشان، پیش از محاسبه همه حالتها بررسی کنید پاسخ باید زوج باشد یا فرد و حرکتهای مجاز چه اثری بر این ویژگی دارند. اگر خواسته با آن ناسازگار باشد، می‌توان ناممکن بودنش را توضیح داد؛ اما سازگاری بهتنهایی وجود پاسخ را ثابت نمیکند. در این راهنمای ششم و نهم، این روش را با جمع عددها و تغییر وضعیت مهرهها تمرین میکنیم. همه مثال‌ها تألیفی و فرضی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
زوج و فرد را با جفتکردن توضیح دهید
در مثال‌های این صفحه با تعدادهای صحیح و نامنفی سروکار داریم. اگر بتوان همه مهرهها را دوتادوتا جفت کرد و چیزی تنها نماند، تعداد زوج است. اگر یک مهره تنها بماند، تعداد فرد است. مثلاً ۶ مهره، سه جفت می‌سازد؛ ۷ مهره، سه جفت و یک مهره تنها. صفر هم زوج است، چون هیچ مهره بدون جفتی باقی نمی‌ماند.
برای شروع می‌توانید این دو حالت را روی کاغذ بکشید. هنگام جمع‌کردن دو گروه، جفت‌های کامل مسئلهای ندارند؛ باید ببینید چند مهره تنها باقی می‌ماند. این تصویر، دلیل قاعده را روشن میکند و فقط به تشخیص رقم یکان محدود نمی‌شود.
در جمع چند عدد، تعداد عددهای فرد را بشمارید
دو گروه زوج فقط جفت‌های کامل دارند؛ جمعشان زوج است. با جمع یک گروه زوج و یک گروه فرد، همان یک مهره تنها باقی می‌ماند و حاصل فرد است. در جمع دو گروه فرد، دو مهره تنها با هم یک جفت تازه میسازند؛ پس حاصل زوج میشود.
در جمع چند عدد نیز عددهای فرد را دوتادوتا کنار هم بگذارید. هر دو عدد فرد، مجموعی زوج میسازند. اگر تعداد عددهای فرد زوج باشد، هیچ عدد فردی تنها نمی‌ماند و مجموع زوج است؛ اگر تعدادشان فرد باشد، یک عدد فرد باقی می‌ماند و مجموع فرد میشود. اضافه‌کردن عددهای زوج این نتیجه را تغییر نمیدهد.
یک نمونه بدون محاسبه جمع کامل
در جمع ۸، ۱۳، ۶، ۹ و ۱۵، سه عدد فرد داریم: ۱۳، ۹ و ۱۵. جمع ۱۳ و ۹ زوج است و با اضافه‌شدن ۱۵، حاصل فرد میشود؛ ۸ و ۶ هم زوج‌اند و فردبودن مجموع را عوض نمی‌کنند. برای کنترل می‌توان جمع کامل را حساب کرد: ۵۱. معیار، تعداد عددهای فرد بود؛ نه بزرگ‌ترین عدد یا فردبودن تعداد همه جمله‌های جمع.
مثال حل‌شده: چه زمانی جست‌وجوی همه انتخابها لازم نیست؟
پنج کارت داریم که روی آن‌ها عددهای ۳، ۵، ۷، ۹ و ۱۱ نوشته شده است؛ از هر عدد فقط یک کارت وجود دارد. می‌خواهیم دقیقاً سه کارت متفاوت برداریم و عددهای آن‌ها را جمع کنیم. آیا مجموع میتواند ۲۲ شود؟
هر سه عدد انتخابی فردند. جمع دو عدد نخست زوج و با اضافه‌شدن عدد سوم، مجموع فرد است. چون ۲۲ زوج است، هیچ انتخاب مجازی به آن نمی‌رسد. این دلیل همه انتخابها را پوشش می‌دهد؛ نیازی نیست تک‌تک ترکیب‌ها را بنویسیم.
اگر مجموع هدف ۲۱ باشد، یک نمونه بسازید
۲۱ فرد است؛ پس بررسی زوج و فرد آن را رد نمیکند. برای اثبات امکان، یک انتخاب معتبر نشان می‌دهیم: کارت‌های ۳، ۷ و ۱۱ مجموع ۲۱ دارند و هیچ کارتی دوباره استفاده نشده است. دلیلِ امکان، همین نمونه است؛ نه صرفاً فردبودن ۲۱.
اگر مجموع هدف ۲۹ باشد، هنوز ممکن نیست
۲۹ هم فرد است، اما بزرگ‌ترین مجموع مجاز با سه کارتِ ۷، ۹ و ۱۱ ساخته میشود و برابر ۲۷ است. پس ۲۹ دست‌یافتنی نیست. نتیجه این است که بررسی زوج و فرد میتواند یک مانع را آشکار کند؛ اگر مانعی پیدا نکرد، هنوز باید محدودیت مقدار، تعداد انتخابها و تکرار را بررسی کنیم.
وقتی بررسی زوج و فرد پاسخ را روشن نمیکند، روش فهرست‌کردن و شمارش منظم حالت‌های مجاز را تمرین کنید.
در حرکتهای پیاپی، ویژگی ثابت را پیدا کنید
روی میز ۱۷ مهره داریم. در هر حرکت فقط یکی از این دو کار مجاز است: ۲ مهره برداریم، به شرط آنکه دست‌کم ۲ مهره روی میز باشد؛ یا ۴ مهره اضافه کنیم. آیا با انجام تعدادی از این حرکتها می‌توان میز را کاملاً خالی کرد؟
برداشتن ۲ مهره از یک تعداد فرد، آن را فرد نگه می‌دارد؛ افزودن ۴ مهره هم همین اثر را دارد. بنابراین تعداد مهرهها در هر مرحله فرد می‌ماند. خالیشدن میز یعنی رسیدن به صفر، و صفر زوج است؛ پس هدف با این حرکتها ناممکن است. لازم نیست ترتیب‌های طولانی حرکت را امتحان کنیم، چون هیچ حرکت مجازی فردبودن را تغییر نمیدهد.
خود تعداد ثابت نیست؛ زوج یا فرد بودن آن ثابت است
پس از یک حرکت، تعداد میتواند ۱۵ یا ۲۱ باشد؛ پس نباید بگوییم «تعداد مهرهها تغییر نمیکند». آنچه تغییر نمیکند فردبودن تعداد است. در برگه حل بنویسید: شروع فرد است، هر حرکت فردبودن را حفظ میکند، هدف زوج است؛ بنابراین هدف دست‌یافتنی نیست.
با تغییر قانون، استدلال قبلی را دوباره بسنجید
اگر برداشتن ۳ مهره نیز به حرکتهای مجاز اضافه شود، فردبودن دیگر همواره حفظ نمی‌شود. در این نسخه تازه، یک بار ۳ مهره از ۱۷ برمی‌داریم و به ۱۴ می‌رسیم؛ سپس با هفت بار برداشتن ۲ مهره، میز خالی میشود. این نمونه فقط برای قانون تازه معتبر است. حفظ نتیجه قبلی پس از تغییر حرکتها، خطای حل است.
تمرین انتقال روش: برگرداندن مهره‌های دورو
شش مهره دورو داریم؛ یک روی هر مهره سفید و روی دیگرش سیاه است. ابتدا روی سفید همه مهرهها دیده میشود. در هر حرکت باید دقیقاً دو مهره متفاوت را انتخاب کنیم و هرکدام را یک بار برگردانیم. انتخاب دوباره یک مهره در حرکتهای بعدی مجاز است. آیا می‌توان به حالتی رسید که دقیقاً یک روی سیاه دیده شود؟ پیش از خواندن پاسخ، اثر یک حرکت را بر تعداد روهای سیاهِ نمایان بنویسید.
اثر حرکت را به همه حالت‌های ممکن تقسیم کنید
اگر دو مهره با روی سفید را برگردانیم، تعداد روهای سیاهِ نمایان ۲ واحد زیاد میشود. اگر هر دو روی سیاه داشته باشند، ۲ واحد کم میشود. اگر یکی سفید و دیگری سیاه باشد، تعداد روهای سیاهِ نمایان تغییر نمیکند. هر حرکت یکی از همین حالت‌هاست.
در آغاز هیچ روی سیاهی نمایان نیست و تعداد روهای سیاهِ نمایان صفر است. افزایش یا کاهش ۲ واحدی، یا ثابت‌ماندن تعداد، زوج‌بودن را حفظ میکند. پس رسیدن به دقیقاً یک روی سیاه ناممکن است. در مقابل، دو روی سیاه با یک حرکت نمایان میشود. اینجا نیز برای ناممکن بودن دلیل عمومی دادیم و برای امکان، یک حرکت مشخص نشان دادیم.
تمرین مستقل: مجموع بسته‌ها را بررسی کنید
در هرکدام از چهار پاکت، تعداد فردی مهره قرار دارد؛ لازم نیست تعداد مهره‌های پاکت‌ها برابر باشد. آیا مجموع مهرهها میتواند ۳۱ باشد؟ آیا میتواند ۳۰ باشد؟ پاسخ هر قسمت را با دلیل بنویسید.
پاسخ و تفاوت دو دلیل
جمع چهار تعداد فرد، زوج است: دو تعداد نخست مجموعی زوج و دو تعداد دیگر هم مجموعی زوج میسازند. بنابراین ۳۱ ناممکن است. برای ۳۰، زوج‌بودن فقط مانع نخست را برمی‌دارد؛ یک نمونه معتبر لازم داریم. تعدادهای ۳، ۵، ۹ و ۱۳ همگی فردند و مجموعشان ۳۰ است، پس این مجموع ممکن است.
جمع‌بندی و چک‌لیست بررسی زوج و فرد
پیش از محاسبه مفصل، کمیتی را که باید دنبال کنید نام ببرید: مجموع عددها، تعداد مهره‌های روی میز یا تعداد روهای سیاهِ نمایان. سپس اثر همه حرکتهای مجاز را بر زوج و فرد بودن آن بسنجید. ناسازگاری با هدف میتواند ناممکن بودن را ثابت کند؛ در صورت سازگاری، هنوز باید بقیه شرط‌های مسئله را بررسی کرد.
برای تمرین بعدی، یکی از مثال‌ها را بردارید و فقط یک قید را عوض کنید: تعداد انتخابها، مجازبودن تکرار یا اندازه یک حرکت. پیش از حل تازه، توضیح دهید کدام بخش از دلیل قبلی هنوز برقرار است. در ششم و نهم، کیفیت این توضیح میتواند مشخص کند تمرین بعدی باید روی جمع عددها باشد یا تحلیل حرکتها.
- کمیت مورد بررسی را دقیق مشخص کرده‌ام.
- زوج یا فرد بودن مقدار آغازین و هدف را نوشته‌ام.
- در مسئله جمع، تعداد عددهای فرد را با تعداد همه عددها اشتباه نمی‌گیرم.
- اثر هر حرکت مجاز را بررسی کرده‌ام؛ فقط یک مسیر دلخواه را امتحان نکرده‌ام.
- برای اعلام امکان، یک نمونه معتبر یا دلیل کامل دارم.
- پس از تغییر قانون، نتیجه قبلی را بدون بررسی تکرار نمی‌کنم.
پرسش‌های پرتکرار
چه زمانی زوج و فرد در حل مسائل تیزهوشان کمک میکند؟
وقتی خواسته درباره مجموع عددهای صحیح، جفتکردن اشیا یا رسیدن به یک وضعیت با حرکتهای مشخص است، بررسی زوج و فرد میتواند بعضی حالتها را رد کند. ابتدا باید کمیت مورد بررسی و اثر همه حرکتهای مجاز روشن باشد؛ این روش پاسخ هر مسئلهای را بهتنهایی تعیین نمیکند.
جمع چند عدد فرد چه زمانی زوج میشود؟
وقتی تعداد عددهای فرد زوج باشد. هر دو عدد فرد مجموعی زوج میسازند؛ اگر یک عدد فرد بدون جفت بماند، مجموع فرد میشود. افزودن عددهای زوج، زوج یا فرد بودن این مجموع را تغییر نمیدهد.
چرا صفر را در مسئله خالیشدن میز زوج حساب میکنیم؟
صفر بر ۲ بدون باقیمانده تقسیم میشود و در مدل جفتکردن هم هیچ مهره بدون جفتی ندارد. بنابراین اگر تعداد مهرهها در همه حرکتها فرد بماند، رسیدن به میز خالی یا تعداد صفر ممکن نیست.
اگر زوج و فرد بودن هدف درست بود، امکان رسیدن ثابت میشود؟
خیر. ممکن است محدودیتهای دیگری مانند بیشترین مقدار، تعداد انتخابها یا ممنوعیت تکرار جلوی آن را بگیرند. برای اثبات امکان، یک حالت معتبر بسازید یا دلیل کاملی ارائه کنید که همه شرطها را رعایت کند.