برای حل مسئله از آخر به اول، از نتیجه نهایی شروع کنید و اثر آخرین کار را برگردانید؛ سپس همین کار را تا رسیدن به مقدار آغازین ادامه دهید. فقط عوض کردن جمع و تفریق کافی نیست: ترتیب مراحل هم باید معکوس شود. این راهنما برای آمادگی آزمون تیزهوشان ششم و نهم، روش بازسازی مقدار اولیه و کنترل آن را آموزش میدهد. همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
چه زمانی از آخر به اول حل کنیم؟
وقتی مقدار پایان معلوم است، مقدار آغاز را می‌خواهیم و تغییرهای بین آن‌ها مشخص‌اند، می‌توان بررسی کرد آیا مسیر بازگشت روشن است. برای نمونه، اگر عددی را دو برابر کرده و سپس مقداری به آن افزوده باشیم، از حاصل نهایی می‌توان آن مقدار را کم کرد و بعد نصف گرفت.
پیش از محاسبه، برای هر وضعیت یک خانه روی کاغذ بکشید: آغاز، پس از کار نخست، پس از کار دوم و پایان. نام عملیات را میان خانه‌ها بنویسید. در مسیر برگشت، هر بار بپرسید «درست پیش از این کار، چه مقداری داشته‌ایم؟» این پرسش جلوی مخلوط شدن مقدارهای میانی را می‌گیرد.
قاعده معلوم است یا باید کشف شود؟
در مثالهای این مقاله، عملیات را خود مسئله داده است. اگر فقط چند عدد دارید و باید رابطه میان آن‌ها را پیدا کنید، نخست به کشف و بررسی قاعده نیاز دارید؛ از آخر شروع کردن، قاعده نامعلوم را خودبه‌خود مشخص نمی‌کند.
اگر رابطه میان عددها هنوز معلوم نیست، راهنمای الگویابی عددی تیزهوشان را بخوانید.
مثال حل‌شده: آخرین کار را اول برگردانید
یک عدد را در ۳ ضرب می‌کنیم، ۶ به حاصل می‌افزاییم و نتیجه را بر ۲ تقسیم می‌کنیم. خروجی ۱۵ است. عدد آغازین چیست؟ ابتدا کارها را به ترتیب بخوانید: ضرب در ۳، افزودن ۶، تقسیم بر ۲.
- برگرداندن کار آخر: چون پس از تقسیم بر ۲ به ۱۵ رسیده‌ایم، پیش از تقسیم مقدار ۳۰ بوده است.
- برگرداندن کار میانی: پیش از افزودن ۶، مقدار ۲۴ بوده است؛ از ۳۰، مقدار ۶ را کم می‌کنیم.
- برگرداندن کار نخست: پیش از ضرب در ۳، مقدار ۸ بوده است؛ ۲۴ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم.
کنترل رو به جلو بخشی از پاسخ است
عدد ۸ را در دستور اصلی قرار دهید: ضرب در ۳، مقدار ۲۴ را میدهد؛ افزودن ۶، مقدار ۳۰ را می‌سازد؛ تقسیم بر ۲، خروجی ۱۵ را برمی‌گرداند. بنابراین عدد پیدا‌شده با همه مراحل سازگار است. در این مثال هر عملیاتِ برگشت، مقدار قبلی را یکتا تعیین میکند.
چرا معکوس کردن با همان ترتیب غلط است؟
اگر از ۱۵ شروع کنید، ابتدا بر ۳ تقسیم کنید، بعد ۶ کم کنید و در پایان در ۲ ضرب کنید، به منفی ۲ می‌رسید. عملیات‌ها معکوس شده‌اند، اما ترتیبشان نشده است. عدد منفی ۲ در مسیر اصلی خروجی صفر میدهد، نه ۱۵. برای بازگشت باید از آخرین تغییری شروع کنید که روی مقدار انجام شده است.
معکوس یک عمل با معکوس عدد فرق دارد
در این روش، «معکوس» یعنی کاری که اثر مرحله قبلی را خنثی میکند. اگر ۵ اضافه شده، ۵ کم می‌کنیم؛ اگر ۵ کم شده، ۵ اضافه می‌کنیم. برای برگرداندن ضرب در یک عدد غیرصفر، بر همان عدد تقسیم می‌کنیم و برای برگرداندن تقسیم بر آن، در همان عدد ضرب می‌کنیم.
این دستور درباره نقش عدد در عملیات است. «عدد را بر ۴ تقسیم کن» با «۴ را بر عدد تقسیم کن» یکسان نیست. پیش از استفاده از قاعده، جمله را کامل بخوانید؛ صرف دیدن علامت تقسیم کافی نیست.
مثال کوتاه از تفاوت نقش‌ها
اگر عددی تقسیم بر ۴ برابر ۳ باشد، عدد آغازین ۱۲ است. اما اگر ۱۲ تقسیم بر عددی برابر ۳ باشد، آن عدد ۴ است. در حالت دوم، ضرب کردن خروجی ۳ در ۱۲ پاسخ را نمی‌دهد؛ با قرار دادن ۴ در جای مقسوم‌علیه، رابطه اصلی را کنترل می‌کنیم.
تمرین مستقل: نصفِ باقی‌مانده را دنبال کنید
در یک جعبه تعدادی مهره است. ابتدا ۴ مهره بیرون می‌آوریم؛ سپس نصف مهره‌های باقی‌مانده را کنار می‌گذاریم؛ در پایان ۳ مهره به جعبه اضافه می‌کنیم. اکنون ۱۰ مهره داخل جعبه است. در آغاز چند مهره داشتیم؟ مهره‌ها تقسیم نمی‌شوند و نصفِ باقی‌مانده در این تمرین تعداد صحیحی است. پیش از دیدن پاسخ، برای هر وضعیت یک خانه بکشید.
پاسخ با نام‌گذاری مقدارهای میانی
پیش از اضافه شدن ۳ مهره، ۷ مهره در جعبه بوده است. این ۷ مهره، نصف مقداری است که پس از برداشتن ۴ مهره باقی مانده بود؛ پس آن مقدار ۱۴ بوده است. پیش از برداشتن ۴ مهره، تعداد آغازین ۱۸ بوده است. کنترل: از ۱۸، مقدار ۴ را کم می‌کنیم و ۱۴ می‌ماند؛ نصف آن را کنار می‌گذاریم و ۷ باقی می‌ماند؛ با افزودن ۳ به ۱۰ می‌رسیم.
نصفِ کدام مقدار؟
نصف در این صورت سؤال به باقی‌مانده پس از کار نخست مربوط است، نه تعداد آغازین. اگر ابتدا ۱۰ را دو برابر کرده باشید، آخرین کار را ندیده‌اید؛ اگر پاسخ ۱۴ را نوشته باشید، در وضعیت میانی متوقف شده‌اید. کنار هر عدد، نام وضعیتش را بنویسید تا روشن باشد هنوز کدام کار باید برگردانده شود.
آیا هر مسیر را می‌توان یکتا برگرداند؟
خیر. بعضی عملیات اطلاعات مقدار آغازین را از بین می‌برند. فرض کنید یک عدد صحیح را در صفر ضرب کنیم و سپس ۷ بیفزاییم؛ خروجی ۷ است. با کم کردن ۷، به صفر می‌رسیم، اما نمی‌توانیم بر صفر تقسیم کنیم. عددهای آغازین متفاوتی مانند ۲ و ۹ همین خروجی را می‌دهند؛ پس داده برای تعیین یک عدد آغازین کافی نیست.
حتی اگر برگشت ممکن باشد، شاید بیش از یک پاسخ داشته باشد. اگر عددی را در خودش ضرب کنیم و حاصل ۹ شود، در میان عددهای صحیح هم ۳ و هم منفی ۳ سازگارند. اگر صورت سؤال عدد مثبت بخواهد، فقط ۳ می‌ماند. شرط دامنه عددها را باید از متن گرفت.
حل معکوس، مجوز برعکس کردن هر گزاره نیست
از جمله «اگر کارت آبی باشد، ستاره دارد» نمی‌توان با دیدن ستاره به آبی بودن رسید؛ ممکن است کارت رنگ دیگری داشته باشد. بازگشت در مسئله عددی هم به رابطه‌ای نیاز دارد که مقدار قبلی را مشخص کند. پیش از اعلام پاسخ یکتا، بررسی کنید آیا چند آغاز متفاوت می‌توانند همان پایان را بسازند.
برای شناخت تفاوت جهت مجاز و نامجاز یک رابطه، راهنمای استدلال شرطی تیزهوشان را ببینید.
جمع‌بندی: مسیر برگشت را با اجرای دوباره بسنجید
در نوبت بعدی تمرین، یک مسئله با مقدار پایان معلوم انتخاب کنید؛ عملیات‌ها را جدا بنویسید، از آخرین کار برگردید و پاسخ را از آغاز در دستور اصلی اجرا کنید. اگر نتیجه متفاوت شد، اولین وضعیت ناسازگار را پیدا کنید. این کار معلوم میکند مشکل از ترتیب بازگشت بوده، محاسبه یا خواندن صورت سؤال.
برای ششم میتوانید با خانههای وضعیت و محاسبه‌های ساده شروع کنید. در نهم، اگر معادله را آموختهاید، همان مثال را با نماد مجهول هم بنویسید و دلیل هر گام را مقایسه کنید. تمرین توضیح عملیات و کنترل جواب در درس‌های دوره اول و مسیر بلندمدت مطالعه برای کنکور نیز قابل استفاده است؛ هدف فعلی، حل مستقل همین مسئله‌هاست.
- مقدار آغاز، مقدار پایان و خواسته را جدا کرده‌ام.
- از آخرین عملیات شروع کرده‌ام و ترتیب مراحل را برگردانده‌ام.
- هر عدد میانی نام وضعیت مشخصی دارد.
- شرط عدد صحیح، مثبت یا تقسیم‌ناپذیر بودن اشیا را رعایت کرده‌ام.
- پاسخ را با مسیر اصلی کنترل کرده‌ام و یکتایی را بدون دلیل فرض نکرده‌ام.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
از کجا بفهمم حل از آخر به اول مناسب است؟
اگر مقدار پایان و مراحل تغییر معلوماند و مقدار آغاز را میخواهید، مسیر برگشت را بررسی کنید. باید بتوانید اثر هر مرحله را برگردانید یا همه مقدارهای قبلیِ سازگار را مشخص کنید.
چرا با عوض کردن جمع و تفریق باز هم جواب غلط می‌شود؟
ممکن است ترتیب کارها را حفظ کرده باشید. در حل معکوس، هم نوع عملیات و هم ترتیب مراحل برمی‌گردد؛ از آخرین کار شروع کنید و هر عدد میانی را با نام وضعیتش بنویسید.
برای حل معکوس باید معادله بلد باشم؟
برای مثالهای اصلی این راهنما، خانههای وضعیت و عملیات ساده کافی است. اگر معادله را آموختهاید، میتوانید همان رابطه را با مجهول بنویسید و هر دو روش را با اجرای دستور اولیه کنترل کنید.
آیا رسیدن به خروجی درست، یکتا بودن پاسخ را ثابت میکند؟
خیر. اجرای رو به جلو فقط سازگار بودن پاسخ را نشان میدهد. برای یکتایی باید بررسی کنید آیا مقدار آغازین دیگری هم میتواند همان خروجی را بدهد؛ ضرب در صفر نمونهای است که آغازهای متفاوت را به یک نتیجه میرساند.