برای حل مسائل میانگین در تیزهوشان، ابتدا از میانگین و تعداد دادهها، مجموع را پیدا کنید؛ سپس تغییر مسئله را روی مجموع و تعداد، جداگانه اعمال کنید. با این روش روشن میشود چرا افزودن یک عدد، حذف آن و جایگزینی‌اش محاسبه‌های متفاوتی دارند. این راهنما برای تمرین حل مسئله در پایه ششم و نهم نوشته شده است؛ همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
میانگین چه چیزی را درباره عددها می‌گوید؟
در این مطلب، منظور از میانگین، میانگین حسابی است: مجموع مقدارها را بر تعدادشان تقسیم می‌کنیم. تصور کنید مجموع را بدون کم‌وزیاد شدن، به سهم‌های برابر بازتوزیع کرده‌ایم؛ مقدار هر سهم، میانگین است. برای محاسبه باید دست‌کم یک داده داشته باشیم و داده‌های اندازه‌گیری‌شده، مانند طول چند نوار، هم‌نوع و با واحد یکسان باشند.
روی چهار کارت، عددهای ۸، ۱۰، ۱۳ و ۱۷ نوشته شده است. مجموع آنها ۴۸ و میانگینشان ۱۲ است، چون ۴۸ تقسیم بر ۴ برابر ۱۲ میشود. هیچ کارتی عدد ۱۲ ندارد؛ لازم نیست میانگین یکی از مقدارهای موجود باشد. نصف مجموع کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد هم در این مثال ۱۲٫۵ است و میانگین همه کارت‌ها را نمی‌دهد.
مجموع، تعداد و میانگین را از هم جدا بنویسید
در برگه حل، برای هر وضعیت سه جای مشخص بگذارید: «تعداد دادهها»، «مجموع مقدارها» و «میانگین». اگر تعداد و میانگین معلوم باشند، حاصل ضرب آنها مجموع را میدهد. در مثال کارت‌ها، از تعداد ۴ و میانگین ۱۲ دوباره به مجموع ۴۸ می‌رسیم؛ دانستن تکتک عددها برای این کار لازم نیست.
تعداد دادهها با تعداد عددهای متفاوت یکی نیست. اگر عددی روی دو کارت تکرار شود، هر دو کارت را در تعداد و هر دو مقدار را در مجموع حساب می‌کنیم. در مثالهای این صفحه، هر کارت یا نوار یک داده است و سهم برابر در شمارش دارد.
یک عدد اضافه شده است؛ از دو مجموع به عدد تازه برسید
به همان چهار کارت با میانگین ۱۲، یک کارت اضافه می‌کنیم و میانگین پنج کارت به ۱۴ می‌رسد. عدد روی کارت تازه چیست؟ افزایش میانگین از ۱۲ به ۱۴ به معنی اضافه شدن کارت ۲ نیست؛ اکنون همان مجموع تازه میان پنج داده تقسیم میشود.
- پیش از افزودن: تعداد ۴، میانگین ۱۲ و مجموع ۴۸ است.
- پس از افزودن: تعداد ۵ و میانگین ۱۴ است؛ پس مجموع تازه ۷۰ میشود.
- فقط کارت تازه مجموع را تغییر داده است؛ عدد آن برابر اختلاف ۷۰ و ۴۸، یعنی ۲۲ است.
- کنترل: مجموع عددهای ۸، ۱۰، ۱۳، ۱۷ و ۲۲ برابر ۷۰ است؛ تقسیم بر ۵، میانگین ۱۴ را برمی‌گرداند.
اگر میانگین پس از افزودن تغییر نکند چه؟
اگر به همین چهار کارت، یک کارت با عدد ۱۲ اضافه کنیم، مجموع ۶۰ و تعداد ۵ میشود؛ میانگین همچنان ۱۲ است. به‌طور کلی، وقتی فقط یک داده اضافه میشود و میانگین ثابت می‌ماند، مقدار داده تازه باید برابر میانگین قبلی باشد. میتوانید این نتیجه را با مقایسه مجموع قبل و بعد توضیح دهید.
بازسازی مجموع از نتیجه تقسیم، نمونه‌ای از حل معکوس است؛ روش حل مسئله از آخر به اول را هم تمرین کنید.
حذف و جایگزینی را با تعدادِ بعد از تغییر حل کنید
در دو مثال مستقل زیر، میانگین پنج عدد ۱۸ است؛ بنابراین مجموع اولیه در هر مثال ۹۰ است. تفاوت اصلی این است که با حذف یک داده، تعداد کمتر میشود، اما با جایگزینی یک داده با داده دیگر، تعداد ثابت می‌ماند.
حذف: تعداد کم میشود و مجموع را دوباره حساب می‌کنیم
اگر عدد ۲۶ را از مجموعه حذف کنیم، مجموع باقی‌مانده ۶۴ و تعداد دادهها ۴ است. میانگین تازه ۱۶ میشود. تقسیم ۶۴ بر ۵ نادرست است، چون داده حذف‌شده دیگر در مجموعه حضور ندارد.
پاسخ از نظر جهت تغییر هم سازگار است: عدد حذف‌شده، ۲۶، از میانگین قبلی بزرگتر بود و با حذف آن میانگین پایین آمد. این کنترل جهت، جای محاسبه را نمی‌گیرد، اما می‌تواند خطای عددی را آشکار کند.
جایگزینی: مجموع عوض میشود، تعداد ثابت می‌ماند
در مثال مستقل دوم، از پنج عدد با میانگین ۱۸، عدد ۱۴ را برمی‌داریم و عدد ۲۴ را به جایش می‌گذاریم. مجموع ۱۰ واحد بیشتر میشود: از ۹۰ به ۱۰۰ می‌رسد. تعداد همچنان ۵ است؛ پس میانگین تازه ۲۰ است.
افزایش ۱۰ واحدیِ یک داده میان پنج سهم پخش شده و میانگین فقط ۲ واحد بالا رفته است. اگر پاسخ ۲۸ نوشته‌اید، احتمالاً تغییر مجموع را مستقیماً به میانگین اضافه کرده‌اید. کنار تغییر ۱۰ بنویسید «تغییر مجموع» تا آن را با تغییر میانگین اشتباه نگیرید.
دو گروه را ترکیب می‌کنیم؛ چرا میانگینِ میانگین‌ها کافی نیست؟
یک دسته شامل ۳ نوار کاغذی با میانگین طول ۸ سانتی‌متر و دسته دیگر شامل ۵ نوار با میانگین طول ۱۶ سانتی‌متر است. می‌خواهیم میانگین طول همه نوارها را پیدا کنیم. مجموع طول دسته اول ۲۴ و مجموع طول دسته دوم ۸۰ سانتی‌متر است؛ بنابراین مجموع طول ۸ نوار، ۱۰۴ سانتی‌متر و میانگینشان ۱۳ سانتی‌متر میشود.
اگر فقط ۸ و ۱۶ را جمع و بر ۲ تقسیم کنیم، به ۱۲ می‌رسیم. این کار به دو دسته سهم برابر میدهد، در حالی که دسته دوم نوارهای بیشتری دارد. در محاسبه درست، هر نوار یک داده است؛ بنابراین دسته پرشمارتر اثر بیشتری بر میانگین کل دارد. اینجا پاسخ ۱۳ به میانگین دسته دوم نزدیک‌تر است.
چه وقت می‌توان میانگین دو میانگین را گرفت؟
وقتی تعداد داده‌های دو گروه برابر باشد، جمع دو میانگین و تقسیم بر ۲ میانگین کل را میدهد. اگر میانگینهای دو گروه برابر باشند نیز نتیجه همان مقدار مشترک است، حتی با تعدادهای متفاوت. اما برای گروههای با میانگینهای متفاوت و تعدادهای نابرابر، باید تعداد هر گروه را در محاسبه وارد کنیم.
اگر به‌جای تعداد دقیق، فقط نسبت تعداد نوارهای دو گروه را بدانیم، باز هم می‌توان میانگین کل را پیدا کرد. در مثال بالا نسبت تعدادها ۳ به ۵ است؛ سهم میانگین ۸ را سه بار و سهم میانگین ۱۶ را پنج بار حساب می‌کنیم، سپس مجموع را بر ۸ سهم تقسیم می‌کنیم.
برای فهم نقش تعداد سهم‌ها و تفاوت جزء با کل، آموزش نسبت و تناسب در تیزهوشان را بخوانید.
میانگین معلوم است، اما آیا پاسخ دقیق هم معلوم میشود؟
دانستن میانگین یک گروه، عدد تکتک اعضا را مشخص نمیکند. دو مجموعه «۱۰ و ۱۴» و «۱۱ و ۱۳» هر دو میانگین ۱۲ دارند. پس اگر فقط تعداد و میانگین را بدانیم، مجموع معلوم است، اما لزوماً نمیتوان مقدار یکی از دادهها را تعیین کرد.
درباره ترکیب دو گروه با میانگینهای ۸ و ۱۶ نیز اگر نه تعدادها و نه نسبتشان معلوم باشد، میانگین دقیق کل مشخص نیست. دو گروه هم‌اندازه، میانگین کل ۱۲ می‌سازند؛ گروههای با تعدادهای ۳ و ۵ در مثال قبل، میانگین کل ۱۳ دارند. هر دو حالت با میانگینهای اعلام‌شده سازگارند، ولی پاسخشان متفاوت است.
هنوز یک نتیجه می‌دانیم: اگر هر دو گروه غیرخالی باشند، میانگین کل بین ۸ و ۱۶ قرار می‌گیرد. ناکافی بودن داده برای پاسخ دقیق به معنی ناممکن بودن هر نتیجه‌گیری نیست؛ باید ببینیم پرسش، مقدار دقیق می‌خواهد یا فقط یک مقایسه.
روش ساخت دو حالت با پاسخ متفاوت را در راهنمای کفایت داده تیزهوشان تمرین کنید.
تمرین: پیش از محاسبه، تغییر تعداد را بنویسید
برای هر تمرین، ابتدا وضعیت قبل و بعد را با تعداد و مجموع ثبت کنید. اگر مجموع معلوم نیست، آن را از میانگین بسازید. پاسخ‌ها را پس از تلاش مستقل بخوانید.
- تمرین الف: میانگین چهار عدد ۱۵ است. عدد پنجمی اضافه می‌کنیم و میانگین به ۱۷ می‌رسد. عدد تازه چیست؟
- تمرین ب: میانگین شش عدد ۱۱ است. عدد ۲۱ را حذف می‌کنیم. میانگین باقی‌مانده چقدر است؟
- تمرین پ: دو نوار، میانگین طول ۶ سانتی‌متر دارند و چهار نوار دیگر، میانگین طول ۱۲ سانتی‌متر. میانگین طول همه نوارها را پیدا کنید.
پاسخ الف: اختلاف مجموع‌ها
مجموع اولیه ۶۰ و مجموع تازه ۸۵ است؛ پس عدد اضافه‌شده ۲۵ است. کنترل: افزودن ۲۵ به ۶۰ و تقسیم حاصل بر ۵، میانگین ۱۷ را میدهد. افزایش میانگین ۲ واحد بوده، اما عدد تازه ۲ نیست.
پاسخ ب: تقسیم بر تعداد باقی‌مانده
مجموع اولیه ۶۶ است. با حذف ۲۱، مجموع ۴۵ و تعداد ۵ میشود؛ پس میانگین تازه ۹ است. عددی بزرگتر از میانگین حذف شده و پاسخ نیز از میانگین قبلی کمتر است.
پاسخ پ: هر نوار یک سهم دارد
مجموع طول دسته اول ۱۲ و دسته دوم ۴۸ سانتی‌متر است. مجموع ۶۰ را بر تعداد ۶ نوار تقسیم می‌کنیم و به ۱۰ سانتی‌متر می‌رسیم. پاسخ ۹ حاصل میانگین گرفتن از دو میانگین است و تعداد نابرابر نوارها را نادیده می‌گیرد.
جمع‌بندی: کنار هر میانگین، تعداد را نگه دارید
در حل بعدی، به‌جای شروع مستقیم از میانگین، ردیف «تعداد، مجموع، میانگین» را برای وضعیت آغاز و پایان بنویسید. افزودن و حذف، تعداد را تغییر می‌دهند؛ جایگزینی آن را ثابت نگه میدارد؛ در ترکیب گروه‌ها نیز مجموع‌ها و تعدادها جداگانه جمع می‌شوند. اگر پاسخ نامشخص ماند، بررسی کنید کدام داده لازم هنوز در صورت سؤال وجود ندارد.
- برای طول یا مقدار اندازه‌گیری‌شده، واحدها یکسان‌اند.
- عددهای تکراری را به تعداد حضورشان حساب کرده‌ام.
- تعداد پس از حذف، افزودن یا جایگزینی را دوباره نوشته‌ام.
- تغییر مجموع را با تغییر میانگین یکی نگرفته‌ام.
- در ترکیب گروه‌ها، تعداد یا نسبت تعداد اعضا را بررسی کرده‌ام.
- پاسخ را با مجموع و تعداد کنترل کرده‌ام، نه فقط با حدس درباره بزرگی آن.
پرسش‌های پرتکرار
چگونه عدد مجهول را از میانگین پیدا کنیم؟
اگر تعداد دادهها و میانگین معلوم است، آنها را در هم ضرب کنید تا مجموع به دست بیاید. اگر فقط یک عدد مجهول باشد و مجموع بقیه را بدانید، اختلاف دو مجموع همان عدد است. با چند عدد مجهول، میانگین بهتنهایی لزوماً تکتک آنها را مشخص نمیکند.
با حذف یک عدد، میانگین همیشه کم میشود؟
خیر. اگر پس از حذف، دادهای باقی بماند، حذف عدد بزرگتر از میانگین، میانگین را کم میکند؛ حذف عدد کوچکتر آن را زیاد میکند و حذف عدد برابر میانگین، آن را ثابت نگه میدارد. اگر تنها داده را حذف کنیم، میانگین مجموعه خالی تعریف نمیشود.
چرا نمیتوان همیشه از میانگین دو گروه میانگین گرفت؟
این کار به دو گروه سهم برابر میدهد. برای گروههای با میانگینهای متفاوت، این روش وقتی درست است که تعداد دادهها برابر باشد. در حالت کلی، مجموع هر گروه را با توجه به تعدادش بسازید و مجموع کل را بر تعداد کل تقسیم کنید؛ نسبت تعدادها نیز برای تعیین میانگین کل کافی است.
برای حل مسائل میانگین ششم و نهم حتماً باید معادله بنویسیم؟
برای مثالهای این راهنما، ثبت تعداد و مجموع و استفاده از چهار عمل اصلی کافی است. اگر معادله را آموختهاید، میتوانید همان رابطهها را با نماد بنویسید؛ در هر دو روش باید معلوم باشد هر میانگین به کدام تعداد داده مربوط است.