برای حل مسائل نسبت و تناسب در تیزهوشان، ابتدا بنویسید چه مقداری با چه مقداری مقایسه می‌شود؛ سپس نسبت را به سهم‌های مساوی تبدیل کنید. عدد دادهشده ممکن است مجموع، اختلاف یا فقط مقدار یکی از طرفها باشد و هرکدام به تعداد سهم متفاوتی مربوط است. در این راهنما برای دانش‌آموزان ششم و نهم، روش تشخیص سهمها و بررسی تغییر نسبت را تمرین میکنیم. همه مثال‌ها تألیفی و آموزشی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
نسبت را همراه نام دو طرف بخوانید
در یک جعبه فقط مهره‌های قرمز و آبی داریم و نسبت تعداد قرمز به آبی، ۳ به ۵ است. یعنی در مدل ما، قرمزها ۳ سهم و آبی‌ها ۵ سهم دارند؛ اندازه هر سهم در هر دو رنگ برابر است. این جمله نمی‌گوید دقیقاً ۳ مهره قرمز و ۵ مهره آبی داریم: ۶ و ۱۰ یا ۹ و ۱۵ نیز با همین نسبت سازگارند.
بالای عدد اول «قرمز» و بالای عدد دوم «آبی» بنویسید. اگر ترتیب پرسش عوض شود و نسبت آبی به قرمز را بخواهد، پاسخ ۵ به ۳ است. عددها بدون این برچسب‌ها می‌توانند شما را به حل درستِ یک خواسته اشتباه برسانند.
نسبت جزء به جزء با سهم از کل فرق دارد
چون جعبه فقط همین دو رنگ را دارد، کل آن ۸ سهم است: ۳ سهم قرمز و ۵ سهم آبی. بنابراین نسبت قرمز به آبی ۳ به ۵ است، اما قرمزها سه‌هشتم کل مهره‌ها را تشکیل می‌دهند. اگر رنگ دیگری هم در جعبه باشد، تا سهم آن را ندانیم نمی‌توانیم کل را ۸ سهم بگیریم.
برای کشیدن مدل، یک ردیف شامل ۳ مستطیل هم‌اندازه برای قرمزها و ردیفی شامل ۵ مستطیل با همان اندازه برای آبی‌ها رسم کنید. هر مستطیل نماینده یک سهم است، نه الزاماً یک مهره. راهنمای مدل نواری مرکز ملی تعالی آموزش ریاضی انگلستان نیز استفاده از بخش‌های مساوی را برای آشکار کردن رابطه نسبت توضیح میدهد.
وقتی مجموع را می‌دانیم، سهمها را جمع میکنیم
حالا فرض کنید در همان جعبه، مجموع مهره‌های قرمز و آبی ۴۰ است. این ۴۰ مهره به ۸ سهم مربوط است؛ پس هر سهم ۵ مهره دارد. قرمزها ۳ سهم، یعنی ۱۵ مهره، و آبی‌ها ۵ سهم، یعنی ۲۵ مهره‌اند.
برای کنترل، دو پرسش جدا بپرسید: آیا مجموع ۱۵ و ۲۵ برابر ۴۰ است؟ آیا با تقسیم هر دو تعداد بر ۵، نسبت ۳ به ۵ برمی‌گردد؟ فقط درست بودن مجموع کافی نیست؛ مثلاً ۲۰ و ۲۰ هم مجموع ۴۰ دارند، اما نسبتشان با صورت سؤال سازگار نیست.
چرا نباید کل را بر یکی از عددهای نسبت تقسیم کنیم؟
عدد ۵ در نسبت، سهم آبی‌هاست و سهم کل نیست. تقسیم ۴۰ بر ۵، یعنی کل را اشتباهاً برابر مقدار آبی‌ها گرفته‌ایم. پیش از هر تقسیم، جمله کوتاهی بنویسید: «این عدد به چند سهم مربوط است؟» در این مسئله پاسخ ۸ سهم است.
وقتی اختلاف را می‌دانیم، فاصله سهمها مهم است
این بار مجموع را کنار بگذارید و فقط بدانید نسبت قرمز به آبی ۳ به ۵ است و آبی‌ها ۱۰ مهره بیشترند. در مدل نواری، ۳ سهم هر دو ردیف با هم برابرند؛ اضافه ردیف آبی ۲ سهم است. پس ۱۰ مهره همان ۲ سهم است و هر سهم ۵ مهره می‌شود.
دوباره قرمزها ۱۵ و آبی‌ها ۲۵ مهره‌اند، اما این بار از اختلاف به پاسخ رسیدیم. داده مسئله را بر مجموع سهمها تقسیم نکردیم. کنترل نیز باید از اختلاف شروع شود: ۲۵ منهای ۱۵ برابر ۱۰ است و نسبت دو تعداد هم ۳ به ۵ می‌شود.
در سؤال‌های سن هم سهم‌بندی می‌تواند کاربرد داشته باشد، اما باید زمان هر نسبت را مشخص کرد؛ نسبت سن در گذشته الزاماً نسبت سن امروز نیست.
کاربرد نسبت و اختلاف ثابت را در راهنمای مسائل سن با جدول زمان تمرین کنید.
تناسب، رابطه ضربی را حفظ می‌کند
دو نسبت برابر یک تناسب می‌سازند. برای ساختن نسبتی برابر با ۳ به ۵، هر دو عدد را در یک ضریب مثبت یکسان ضرب کنید؛ مثلاً با ضریب ۲، نسبت «۶ به ۱۰» به دست می‌آید. برای ساده کردن نیز هر دو را بر یک عدد مثبت یکسان تقسیم میکنیم.
افزودن مقدار برابر به دو طرف، معمولاً نسبت را حفظ نمی‌کند. اگر به ۳ و ۵، عدد ۲ اضافه کنیم، نسبت تازه ۵ به ۷ است. اختلاف همچنان ۲ مانده، اما نسبت عوض شده است: حاصل ضرب ۳ در ۷ برابر ۲۱ و حاصل ضرب ۵ در ۵ برابر ۲۵ است، پس دو نسبت برابر نیستند. برای مقدارهای مثبتِ برابر، نسبت از ابتدا ۱ به ۱ است و افزایش برابر آن را تغییر نمی‌دهد.
قبل از مقایسه، واحدها را هماهنگ کنید
اگر طول نواری ۳۰ سانتی‌متر و طول نوار دیگر ۱ متر باشد، نسبت طول اول به دوم ۳۰ به ۱ نیست. یک متر را ۱۰۰ سانتی‌متر بنویسید؛ نسبت ۳۰ به ۱۰۰ با ساده کردن، ۳ به ۱۰ می‌شود. در مقایسه دو طول، هر دو باید با یک واحد سنجیده شوند.
اگر نسبت تغییر کرد، مقدار ثابت را پیدا کنید
در یک مسئله تازه، نسبت مهره‌های قرمز به آبی ابتدا ۳ به ۵ است. فقط ۱۰ مهره قرمز اضافه میکنیم و تعداد دو رنگ برابر می‌شود. تعداد اولیه هر رنگ چقدر بوده است؟
آبی‌ها تغییر نکرده‌اند. پس آن ۱۰ مهره باید فاصله اولیه قرمز و آبی را پر کرده باشد. فاصله ۳ سهم تا ۵ سهم، ۲ سهم است؛ هر سهم اولیه ۵ مهره بوده و تعداد اولیه قرمز و آبی به‌ترتیب ۱۵ و ۲۵ است. پس از افزودن، هر دو ۲۵ مهره‌اند.
نسبت تازه ۱ به ۱ است. «یک سهم» در نمایش تازه ارزش ۲۵ دارد، ولی «یک سهم» در نمایش اولیه ارزش ۵ داشت. اندازه سهم را نمی‌توان بدون دلیل میان دو نسبت متفاوت یکسان فرض کرد. مقدار واقعی ثابت در این مسئله، تعداد آبی‌ها بود، نه نام سهم.
برای سؤال‌های چندمرحله‌ای، زیر هر وضعیت بنویسید چه چیزی ثابت مانده است: مقدار یک طرف، مجموع دو طرف یا اختلاف آن‌ها. اگر از اطلاعات نتوانید یک اندازه مشخص برای سهم پیدا کنید، ممکن است خواسته هنوز پاسخ یکتا نداشته باشد؛ نسبت به‌تنهایی همیشه تعداد دقیق را مشخص نمی‌کند.
برای تشخیص اینکه نسبت و داده‌های همراه پاسخ یکتا می‌سازند یا نه، راهنمای کفایت داده را ببینید.
تمرین مستقل: فقط مقدار یکی از طرفها داده شده است
دو نوار سبز و زرد داریم. نسبت طول سبز به زرد ۵ به ۳ است و نوار زرد ۱۸ سانتی‌متر طول دارد. طول نوار سبز، مجموع طول دو نوار و کسری از مجموع که به نوار سبز مربوط است را پیدا کنید. سپس بگویید برای برابر شدن طول دو نوار، چند سانتی‌متر باید از نوار سبز کوتاه شود.
پیش از خواندن پاسخ، دو نوار با بخش‌های مساوی رسم کنید و عدد ۱۸ را کنار بخش درست بگذارید. همین جای‌گذاری روشن می‌کند تقسیم اول باید بر کدام عدد انجام شود.
پاسخ و کنترل تمرین
۱۸ سانتی‌متر به ۳ سهم زرد مربوط است؛ پس هر سهم ۶ سانتی‌متر است. سبز ۵ سهم و در نتیجه ۳۰ سانتی‌متر طول دارد. مجموع طول‌ها ۴۸ سانتی‌متر است و سهم سبز از مجموع، پنج‌هشتم است.
باید ۱۲ سانتی‌متر از نوار سبز کوتاه شود تا طولش به ۱۸ سانتی‌متر برسد. این تغییر، نسبت را از «۵ به ۳» به «۱ به ۱» تبدیل می‌کند. برای کنترل نسبت اولیه، ۳۰ و ۱۸ را هر دو بر ۶ تقسیم کنید؛ ۵ و ۳ به دست می‌آید. کسر پنج‌سوم، نسبت سبز به زرد است و پاسخ پرسش «چه کسری از مجموع؟» نیست.
چک‌لیست حل مسائل نسبت و تناسب
در پایان حل، این موارد را با صورت سؤال تطبیق دهید. اگر پاسخ با یکی از آن‌ها سازگار نیست، به همان مرحله برگردید.
- نام و ترتیب دو طرف نسبت را مشخص کرده‌ام.
- معلوم کرده‌ام مقایسه جزء به جزء است یا جزء به کل.
- واحد مقدارهای هم‌جنس را یکسان کرده‌ام.
- عدد دادهشده را به مجموع سهمها، اختلاف سهمها یا سهم یکی از طرفها وصل کرده‌ام.
- در تغییر نسبت، مقدار ثابت را مشخص کرده‌ام و سهم‌های دو وضعیت را بی‌دلیل برابر نگرفته‌ام.
- پاسخ نهایی را هم با نسبت و هم با داده دیگر مسئله کنترل کرده‌ام.
جمع‌بندی: پیش از محاسبه، معنای سهم را پیدا کنید
در مسائل نسبت، مهم‌ترین تصمیم پیش از تقسیم و ضرب گرفته می‌شود: هر عدد به کدام مقدار و چند سهم مربوط است؟ نام دو طرف را بنویسید، سهم‌های مساوی بسازید و از مجموع، اختلاف یا مقدار معلوم به اندازه یک سهم برسید. وقتی نسبت عوض می‌شود، از مقدار ثابت کمک بگیرید و در پایان همه شرط‌ها را دوباره بررسی کنید.
برای ادامه تمرین، از میان مثال‌های این صفحه موردی را انتخاب کنید که تشخیص سهم در آن سخت‌تر بود و دلیل هر مرحله را با زبان خودتان توضیح دهید. اگر در انتخاب تمرین متناسب با سطح یا قرار دادن آن در برنامه آمادگی آزمون تیزهوشان نیاز به راهنمایی دارید، می‌توانید از مسیر مشاوره مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) اقدام کنید.
برای جای دادن این مهارت در مسیر تمرین، راهنمای استعداد تحلیلی ششم و نهم را بخوانید.
پرسش‌های پرتکرار
آیا نسبت ۳ به ۵ یعنی دقیقاً ۳ و ۵ مهره داریم؟
خیر. این نسبت رابطه دو تعداد را نشان میدهد؛ ۶ و ۱۰ یا ۱۵ و ۲۵ هم همین نسبت را دارند. برای تعیین تعداد دقیق، داده دیگری مانند مجموع، اختلاف یا مقدار یکی از طرفها لازم است.
در مسائل نسبت، چه زمانی عدد دادهشده را بر مجموع سهمها تقسیم کنیم؟
وقتی عدد دادهشده مجموع همان مقدارهایی باشد که سهمهایشان را جمع کردهایم. اگر اختلاف داده شده، اختلاف سهمها را به کار میبریم؛ اگر مقدار یک طرف معلوم است، فقط بر سهم همان طرف تقسیم میکنیم.
چرا نسبت جزء به جزء با کسرِ جزء از کل یکسان نیست؟
چون مقدار دومِ مقایسه فرق دارد. وقتی فقط دو رنگ با نسبت ۳ به ۵ داریم، کل ۸ سهم است؛ نسبت رنگ اول به دوم ۳ به ۵، ولی سهم رنگ اول از کل سه‌هشتم است.
آیا اضافه کردن مقدار مساوی به دو طرف نسبت، آن را حفظ می‌کند؟
برای دو مقدار مثبت نابرابر، افزودن مقدار مثبت یکسان نسبت را تغییر میدهد؛ آنچه ثابت می‌ماند اختلاف است. برای حفظ نسبت، هر دو مقدار را در ضریب مثبت یکسان ضرب میکنیم. اگر دو مقدار از ابتدا برابر باشند، افزایش برابر نسبت ۱ به ۱ را حفظ می‌کند.