برای حل سؤال‌های اصل لانه کبوتری در تیزهوشان، بپرسید: «تا چند انتخاب می‌توانم پیش بروم و هنوز به خواسته نرسم؟» اگر بیشترین تعداد را درست پیدا کرده باشید، انتخاب بعدی باید خواسته را برقرار کند؛ البته به شرط آنکه انتخاب دیگری در مسئله ممکن باشد. در این راهنما با یک کیسه فرضی، تفاوت «ممکن است» و «حتماً» را تمرین می‌کنیم و نشان می‌دهیم چرا تغییر کوچک در خواسته، پاسخ را عوض می‌کند. همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
یک کیسه، دو پرسش متفاوت: ممکن است یا حتماً؟
در یک کیسه فرضی، ۵ مهره آبی، ۴ مهره نارنجی و ۱ مهره سفید داریم. مهرهها را بدون دیدن رنگشان، یکی‌یکی بیرون می‌آوریم و هیچ مهره‌ای را به کیسه برنمی‌گردانیم. پرسش این است: «حداقل چند مهره برداریم تا حتماً دست‌کم دو مهره همرنگ داشته باشیم؟» در تمام مثالهای کیسه این مقاله، برداشت بدون بازگرداندن است.
ممکن است همان دو مهره اول آبی باشند؛ پس داشتن دو مهره همرنگ با ۲ برداشت ممکن است. اما ممکن است اول آبی و بعد نارنجی بیرون بیاید. همین حالت مجاز کافی است تا نشان دهد ۲ برداشت، پاسخ پرسشِ «حتماً» نیست. در این پرسش، راه‌حل باید برای هر ترتیب مجازِ بیرون‌آمدن مهرهها درست باشد.
چرا پاسخ دو مهره همرنگ، چهار برداشت است؟
برای عقب‌انداختن تشکیل یک جفت همرنگ، از هر رنگ فقط یک مهره برمی‌داریم: یک آبی، یک نارنجی و یک سفید. این ترکیبِ ۳ مهره‌ای مجاز است و هنوز جفت همرنگ ندارد. بنابراین هیچ عددی تا ۳، خواسته را حتمی نمی‌کند.
مهره چهارم باید یکی از همان رنگ‌ها را داشته باشد؛ رنگ تازه‌ای در کیسه وجود ندارد. پس با برداشتن آن، دست‌کم یک رنگ تکرار میشود. چون هم نشان دادیم ۳ کافی نیست و هم نشان دادیم ۴ کافی است، حداقل پاسخ ۴ است. لازم نیست بدانیم دقیقاً کدام رنگ تکرار خواهد شد.
لانه‌ها در این مسئله کجا هستند؟
اصل لانه کبوتری می‌گوید اگر تعداد چیزهایی که میان چند گروه تقسیم می‌شوند از تعداد گروهها بیشتر باشد، دست‌کم یک گروه بیش از یک عضو خواهد داشت. اینجا رنگ‌ها نقش لانه و مهره‌های برداشته‌شده نقش اعضا را دارند. اگر در هر رنگ حداکثر یک مهره داشتیم، مجموع مهرهها از تعداد رنگ‌ها بیشتر نمی‌شد؛ پس مهره اضافه ناچار یک رنگ را تکرار می‌کند.
بیان اصل لانه کبوتری در وبگاه رسمی دفتر انتشارات و فناوری آموزشی رشد
خواسته را به سه مهره همرنگ تغییر دهید
حالا از همان کیسه می‌خواهیم آن‌قدر مهره برداریم که حتماً دست‌کم سه مهره از یک رنگ داشته باشیم؛ رنگ آن مهم نیست. برای اینکه هنوز به خواسته نرسیم، از هیچ رنگی نباید بیش از ۲ مهره برداریم. اما سفید فقط ۱ مهره دارد؛ نمی‌توانیم روی کاغذ سفید دیگری بسازیم.
بیشترین برداشت بدون رسیدن به سه همرنگ، ۲ آبی، ۲ نارنجی و ۱ سفید است؛ یعنی ۵ مهره. این حالت واقعاً شدنی است. برداشت ششم دیگر سفید نیست و هرکدام از دو رنگ دیگر باشد، تعداد آن رنگ را به ۳ می‌رساند. بنابراین پاسخ ۶ است.
چرا فرمول حفظی ممکن است یک برداشت اضافه پیشنهاد کند؟
اگر بی‌توجه به موجودی، برای هر سه رنگ ۲ مهره در نظر بگیریم و بعد ۱ اضافه کنیم، به ۷ می‌رسیم. این عدد برای حتمی‌شدن خواسته کافی است، اما کمترین عدد نیست؛ چون حالت فرضیِ دو سفید اصلاً امکان ندارد. در هر رنگ، سهم برداشتِ بدون تحقق خواسته از موجودی واقعی آن بیشتر نمی‌شود.
اگر رنگ مشخص باشد، بدترین حالت عوض میشود
پرسش تازه این است: «از همان کیسه حداقل چند مهره برداریم تا حتماً دست‌کم دو مهره آبی داشته باشیم؟» این بار چند مهره نارنجی همرنگ کمکی به خواسته نمی‌کند. میتوان همه ۴ نارنجی و ۱ سفید را برداشت و هنوز هیچ آبی نداشت؛ سپس ۱ آبی برداشت و باز هم به دو آبی نرسید. پس ۶ برداشت هنوز ممکن است کافی نباشد.
بدون داشتن دو آبی، حداکثر همان ۵ مهره غیرآبی و ۱ آبی را میتوان بیرون آورد. در برداشت هفتم، تعداد آبی‌ها ناچار دست‌کم ۲ است. پاسخ این پرسش ۷ است، در حالی که برای «دو همرنگ با هر رنگی» پاسخ ۴ بود. پیش از محاسبه، دور عبارتِ تعیین‌کننده رنگ خط بکشید.
اول بررسی کنید خواسته اصلاً شدنی است
اگر در همین کیسه دو مهره سفید بخواهیم، هیچ تعداد برداشتی کافی نیست؛ کل کیسه فقط یک سفید دارد. عبارت «بدترین حالت به‌علاوه یک» اجازه نمی‌دهد از کل موجودی بیشتر مهره برداریم. برای خواسته‌های «دست‌کم» در این مثال‌ها، پیش از جست‌وجوی حداقل بررسی کنید با برداشتن همه مهرهها، هدف برقرار میشود یا نه.
راه‌حل را با دو دلیل کامل کنید
برای مسئله‌های برداشت این مقاله، فقط نوشتن یک عدد یا یک ترتیبِ خوش‌شانس کافی نیست. پاسخ حداقل به دو دلیل نیاز دارد: یک حالت مجاز که با یک برداشت کمتر هنوز به هدف نرسیده باشد، و توضیحی که نشان دهد با تعداد پیشنهادی هیچ حالتِ بدون هدف باقی نمی‌ماند.
«بدترین حالت» در اینجا یعنی حالتی که خواسته را بیش از همه به تأخیر می‌اندازد؛ درباره احتمال رخ‌دادن آن حرفی نمی‌زنیم. همچنین به‌جای شمردن تعداد همه ترتیب‌های برداشت، دنبال بیشترین تعداد مهره‌ای هستیم که هنوز شرط هدف را برقرار نکرده‌اند.
- خواسته را دقیق بنویسید: دست‌کم چند مهره، از هر رنگی یا رنگ مشخص؟ روش این مثال‌ها برای خواسته‌های «دست‌کم» است؛ «دقیقاً» معنای دیگری دارد.
- موجودی، رنگهای ممکن و برنگرداندن مهرهها را ثبت کنید.
- بیشترین ترکیب مجازِ بدون تحقق خواسته را بسازید و توضیح دهید چرا بزرگ‌تر نمی‌شود.
- بررسی کنید برداشت بعدی وجود دارد و چرا دیگر نمی‌تواند از خواسته جلوگیری کند.
برای انتخاب روش متناسب با خواسته سؤال، نقشه مهارت‌ها در راهنمای استعداد تحلیلی تیزهوشان را ببینید.
تمرین مستقل: پاسخ را همراه با حالتِ یک برداشت کمتر بنویسید
این بار کیسه‌ای با ۴ مهره سبز، ۲ مهره بنفش و ۱ مهره زرد داریم. بدون دیدن رنگ و بدون بازگرداندن، حداقل چند مهره برداریم تا حتماً دست‌کم سه مهره همرنگ داشته باشیم؟ قبل از خواندن پاسخ، ترکیبی بنویسید که تا آخرین لحظه از تشکیل سه همرنگ جلوگیری کند.
پاسخ و دلیل حداقل‌بودن
با ۲ سبز، ۲ بنفش و ۱ زرد، ۵ مهره داریم و هنوز سه همرنگ نداریم. از بنفش و زرد بیشتر از این موجود نیست و اگر سبز دیگری برداریم، خواسته برقرار میشود. بنابراین ۶ برداشت لازم است تا سه همرنگ حتمی شود؛ در این مثال آن رنگ فقط می‌تواند سبز باشد.
یک تغییر کوچک، یک پاسخ دیگر
در همین کیسه، اگر دو مهره بنفش بخواهیم، میتوان ابتدا ۴ سبز و ۱ زرد و سپس ۱ بنفش برداشت؛ ۶ مهره بیرون است و هنوز بنفش دوم را نداریم. پس برای حتمی‌شدن دو بنفش، باید هر ۷ مهره را برداریم. اما خواسته سه بنفش اصلاً شدنی نیست، چون موجودی بنفش فقط ۲ است.
برای تمرین بعدی، خودتان یک حالت نقض بسازید
روی چند کارت، نام رنگ‌ها را با موجودی یکی از مثال‌ها بنویسید. ابتدا عمداً ترتیبی بسازید که رسیدن به خواسته را عقب بیندازد؛ سپس بگویید چرا کارت بعدی ناچار آن را برقرار می‌کند. چند برداشت تصادفی می‌تواند به فهم مسئله کمک کند، اما جای توضیحی را که همه حالت‌ها را پوشش می‌دهد نمی‌گیرد.
برای دانش‌آموز ششم، شروع با کارت و بیان شفاهیِ دو دلیل می‌تواند مناسب باشد. دانش‌آموز نهم نیز اگر در تشخیص خواسته مشکل دارد، از همین مرحله شروع کند؛ سپس رنگ هدف یا موجودی را تغییر دهد و روش را دوباره اجرا کند. والدین می‌توانند بدون گفتن پاسخ بپرسند: «با یک برداشت کمتر می‌توانی حالتی پیدا کنی که هنوز به هدف نرسیده باشد؟»
جمع‌بندی: حداقل را با مرزِ نرسیدن به خواسته پیدا کنید
در سؤال‌های حداقل برداشت، ابتدا ممکن‌بودن خواسته را بررسی کنید؛ سپس بیشترین حالت مجازِ بدون تحقق آن را بسازید. اگر برداشت بعدی ممکن باشد، باید توضیح دهید چرا هدف را ناگزیر می‌کند. تفاوت خواستهٔ «همرنگ با هر رنگی» با «دو مهره آبی» و توجه به موجودی هر رنگ، بخش اصلی حل است. برای تمرین بعد، فقط یکی از این شرط‌ها را عوض کنید و هر دو دلیل پاسخ تازه را بنویسید.
این تمرین راهی برای روشن‌تر کردن استدلال در مسیر آمادگی آزمون است و نتیجه پذیرش را پیش‌بینی نمی‌کند. اگر انتخاب تمرین متناسب با سطح دانش‌آموز دشوار است، می‌توانید برای بررسی مسیر از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
پرسش‌های پرتکرار
از کجا بفهمیم سؤال به اصل لانه کبوتری مربوط است؟
وقتی سؤال میخواهد با هر انتخاب مجاز، یک تکرار یا تعداد مشخصی از یک گروه حتماً به وجود بیاید، این روش ارزش بررسی دارد. کلمه حداقل بهتنهایی کافی نیست؛ باید گروهها، خواسته و بیشترین حالتِ بدون تحقق آن را مشخص کنید.
چرا در سؤال دو مهره همرنگ، جواب همیشه دو نیست؟
دو برداشت ممکن است همرنگ باشند، اما لزوماً چنین نیست. برای پاسخ به حتماً باید حالتهای بدون جفت را هم بررسی کنید؛ در کیسه دارای سه رنگ، میتوان ابتدا از هر رنگ یکی برداشت و با برداشت چهارم تکرار رنگ ناگزیر میشود.
آیا همیشه تعداد رنگ‌ها را ضرب می‌کنیم و یک واحد اضافه می‌کنیم؟
خیر. موجودی هر رنگ و مشخص یا نامشخص بودن رنگ هدف پاسخ را تغییر می‌دهد. ابتدا بیشترین ترکیب مجازِ بدون تحقق خواسته را بسازید. اگر خود خواسته با کل موجودی هم شدنی نباشد، افزودن یک واحد پاسخ معتبری نمی‌سازد.
اگر مهره را بعد از هر برداشت به کیسه برگردانیم، همین پاسخها درستاند؟
نباید پاسخهای این مقاله را مستقیم به آن حالت منتقل کرد. در مثالهای اینجا مهرهها بیرون میمانند و موجودی کم میشود. با بازگرداندن، امکان تکرار برداشت یک مهره ایجاد میشود؛ باید روشن شود سؤال درباره رنگهای ثبتشده در برداشتهاست یا مهرههایی که همزمان در اختیار داریم و استدلال را متناسب با آن از نو ساخت.