برای حل سؤال احتمال در تیزهوشان، اول مشخص کنید چه چیزی به‌صورت تصادفی انتخاب میشود و کدام نتیجه‌ها شانس برابر دارند؛ بعد حالتهای مطابق خواسته را از میان همه حالتها بشمارید. شمردن نام رنگها یا نوشتن یک کسر از روی ظاهر سؤال کافی نیست. در این راهنما برای ششم و نهم، با مهره‌های مشخص و برداشت‌های ساده جلو می‌رویم. همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
یک مهره انتخاب میشود، نه یک نام رنگ
کیسه‌ای فرضی با ۳ مهره در نظر بگیرید: دو مهره آبی و یک مهره نارنجی. برای دنبال‌کردن مهره‌ها، آبی‌ها را «آبی الف» و «آبی ب» می‌نامیم. در مدل این مسئله، هر مهره هنگام برداشت دقیقاً به اندازه مهره‌های دیگر شانس انتخاب دارد؛ این شرط بخشی از صورت سؤال است.
اگر یک مهره برداریم، نتیجه می‌تواند آبی الف، آبی ب یا نارنجی باشد. پس ۳ حالت همشانس داریم. خواسته «آبی بودن مهره» با ۲ حالت سازگار است؛ احتمال آن ۲ از ۳، یعنی دوسوم است.
ممکن است کسی بگوید «دو رنگ داریم، پس احتمال آبی یک‌دوم است». اشکال این است که رنگ آبی دو مهره دارد و نارنجی فقط یک مهره؛ گروه‌های رنگی همشانس نیستند. انتخاب بین خودِ مهره‌ها انجام میشود و باید همین واحد را در شمارش نگه داریم.
فرمول احتمال را با شرط هم‌شانسی به کار ببرید
به مجموعه همه نتیجه‌های ممکنِ آزمایش، «فضای نمونه» می‌گوییم. نتیجه‌هایی که خواسته سؤال را برآورده می‌کنند، یک «پیشامد» می‌سازند. در مثال کیسه، فضای نمونه از سه مهره مشخص تشکیل شده و پیشامد آبی‌بودن شامل دو مهره آبی است.
اگر حالت‌هایی که می‌شمارید همشانس باشند، احتمال پیشامد برابر است با تعداد حالتهای مطلوب تقسیم بر تعداد کل حالتها. واژه «مطلوب» فقط یعنی مطابق خواسته سؤال؛ لزوماً به معنی نتیجه بهتر نیست. صورت و مخرج کسر باید از یک نوع حالت شمرده شوند.
احتمال در این مدل عددی از ۰ تا ۱ است. اگر هیچ حالت مطابق خواسته نباشد، مقدار آن ۰ است؛ اگر همه حالتها خواسته را داشته باشند، مقدار آن ۱ است. اگر پاسخ شما از ۱ بزرگ‌تر شد، شمارش، مخرج یا تکراری‌بودن حالتها را بازبینی کنید.
برای مقایسه دو احتمال کسری، فقط صورت‌ها را مقایسه نکنید. مثلاً دوسوم از سه‌پنجم بیشتر است، چون اولی ده‌پانزدهم و دومی نه‌پانزدهم میشود. تعداد بیشتر مهره آبی در یک کیسه، بدون دانستن تعداد کل، برای مقایسه کافی نیست.
برای روشن‌شدن رابطه سهم هر گروه با کل، راهنمای نسبت و تناسب در تیزهوشان را بخوانید.
توضیح شرط هم‌شانسی در فرمول احتمال، در منبع آموزشی دانشگاه آر‌ام‌آی‌تی (به زبان انگلیسی)
دو برداشت: با بازگرداندن مهره یا بدون آن؟
به همان کیسه با آبی الف، آبی ب و نارنجی برگردید. این بار دو برداشت انجام می‌دهیم و می‌پرسیم احتمال آبی بودن نتیجه هر دو برداشت چقدر است. هر حالت کامل را به شکل «مهره برداشت اول، مهره برداشت دوم» ثبت کنید. در هر برداشت، همه مهره‌هایی که همان موقع در کیسه‌اند شانس انتخاب برابر دارند.
ترتیب برداشت را در ثبت حالتها نگه می‌داریم تا مسیرها جا نیفتند. آبی الف سپس آبی ب با آبی ب سپس آبی الف دو مسیر جداست، هرچند هر دو به خواسته «دو مهره آبی» می‌رسند.
با بازگرداندن: همان مهره می‌تواند دوباره انتخاب شود
پس از برداشت اول، مهره را به کیسه برمی‌گردانیم و دوباره از میان هر سه مهره با شانس برابر انتخاب می‌کنیم. برای هرکدام از ۳ نتیجه برداشت اول، ۳ نتیجه در برداشت دوم داریم؛ در مجموع ۹ مسیر همشانس.
مسیرهای مطلوب این‌ها هستند: آبی الف سپس آبی الف؛ آبی الف سپس آبی ب؛ آبی ب سپس آبی الف؛ آبی ب سپس آبی ب. بنابراین احتمال آبی بودن هر دو برداشت، ۴ از ۹ یا چهار‌نهم است.
بدون بازگرداندن: مهره اول در کیسه نمی‌ماند
اگر مهره اول را کنار بگذاریم، بعد از هر انتخاب فقط ۲ مهره باقی می‌ماند. مسیرهای ممکن را در سه ردیف بنویسید: پس از آبی الف، آبی ب یا نارنجی؛ پس از آبی ب، آبی الف یا نارنجی؛ پس از نارنجی، آبی الف یا آبی ب. این ۶ مسیر هم‌شانس‌اند.
فقط آبی الف سپس آبی ب، و آبی ب سپس آبی الف هر دو آبی‌اند. احتمال مطلوب ۲ از ۶، یعنی یک‌سوم است. در حالت با بازگرداندن، چهار‌نهم داشتیم؛ اینجا یک‌سوم، یعنی سه‌نهم داریم. بازگرداندن مهره در این مثال احتمال آبی بودن هر دو برداشت را بیشتر کرده است؛ جهت تغییر را برای هر خواسته باید جدا بررسی کرد.
اگر در ساخت فهرست مسیرها یا تشخیص تکرار مشکل دارید، روش شمارش منظم حالتها را تمرین کنید.
«دست‌کم یک آبی» با «دقیقاً یک آبی» فرق دارد
در همان دو برداشت با بازگرداندن، برای «دست‌کم یک آبی» می‌توانیم تنها حالت نامطلوب را بشماریم: نارنجی سپس نارنجی. از ۹ مسیر، فقط همین یک مسیر هیچ آبی ندارد؛ پس ۸ مسیر مطلوب است و احتمال هشت‌نهم میشود. اینجا شمارش حالت مخالف، کوتاه‌تر از فهرست‌کردن همه حالتهای مطلوب است.
اما در «دقیقاً یک آبی»، مسیرهای دو آبی هم کنار می‌روند. آبی الف سپس نارنجی، آبی ب سپس نارنجی و ترتیب برعکس این دو مسیر پذیرفته‌اند: ۴ مسیر از ۹. پیش از محاسبه، با یک نمونه روشن کنید آیا دو آبی هم خواسته را برآورده می‌کند یا نه.
اگر مهره‌ها را برنگردانیم، در مجموعهٔ دو برداشت، داشتن دست‌کم یک مهره آبی حتمی است: فقط یک مهره نارنجی داریم و نمی‌توان آن را دوبار برداشت. هر ۶ مسیرِ مدل بدون بازگرداندن مطلوب‌اند. این نتیجه را نمی‌توان به مدل با بازگرداندن منتقل کرد.
احتمال بیشتر با وقوع حتمی یکسان نیست
در یک برداشت از کیسه، آبی از نارنجی محتمل‌تر است، ولی انتخاب نارنجی همچنان ممکن است. دوسوم بودن احتمال آبی هم وعده نمی‌دهد که در هر سه برداشتِ جدا با بازگرداندن، حتماً دو بار آبی ببینید. این کسر، نسبت تعداد حالتهای مطلوب به همه حالتهای همشانس مدل است و نتیجه یک مجموعه کوتاه از برداشت‌ها را تعیین نمی‌کند.
اگر سؤال می‌پرسد «حداقل چند مهره برداریم تا حتماً آبی داشته باشیم؟»، خواسته عوض شده است. در همین کیسه و بدون بازگرداندن، با یک برداشت ممکن است نارنجی بیاید؛ با دو برداشت دیگر نمی‌توان از آبی دور ماند. این استدلال درباره بدترین حالت است و نیازی به فرض شانس برابر مهره‌ها ندارد.
برای سؤال‌های «حداقل» و «حتماً»، روش اصل لانه کبوتری و بررسی بدترین حالت را ببینید.
تمرین مستقل: دو کارت و یک مجموع مشخص
چهار کارت با عددهای ۱، ۲، ۳ و ۴ داریم. دو کارت را پشت سر هم و بدون بازگرداندن انتخاب می‌کنیم؛ در هر مرحله، همه کارت‌های باقی‌مانده شانس برابر دارند. احتمال اینکه مجموع دو عدد ۵ شود چقدر است؟ پیش از خواندن پاسخ، تعداد کل مسیرها و مسیرهای مطلوب را جدا بنویسید.
پاسخ با حفظ ترتیب برداشت
برای کارت اول ۴ انتخاب و پس از هر انتخاب برای کارت دوم ۳ انتخاب داریم؛ پس ۱۲ مسیر همشانس ساخته میشود. مسیرهای مطلوب عبارت‌اند از: ۱ سپس ۴؛ ۴ سپس ۱؛ ۲ سپس ۳؛ ۳ سپس ۲. احتمال برابر با ۴ از ۱۲، یعنی یک‌سوم است.
اگر ترتیب را کنار بگذارید، باید هم صورت و هم مخرج را به جفتهای بدون ترتیب تبدیل کنید: دو جفت مطلوب از شش جفت ممکن. شمردن دو جفت مطلوب و نگه‌داشتن ۱۲ مسیر در مخرج، دو شیوه شمارش متفاوت را مخلوط می‌کند.
با بازگرداندن کارت، کدام بخش تغییر می‌کند؟
اگر کارت اول را برگردانیم و بار دوم دوباره از میان چهار کارت با شانس برابر انتخاب کنیم، تعداد کل مسیرها ۱۶ میشود. همان ۴ مسیر قبلی مجموع ۵ دارند؛ تکرار یک کارت نمی‌تواند مجموع ۵ بسازد. احتمال جدید ۴ از ۱۶، یعنی یک‌چهارم است. در این مثال تعداد حالتهای مطلوب ثابت ماند، ولی تعداد کل تغییر کرد.
چک‌لیست کنترل پاسخ احتمال
کنار هر پاسخ، دلیل انتخاب مخرج را بنویسید. اگر کسر اشتباه بود، ابتدا مدل و فهرست حالتها را اصلاح کنید؛ ساده‌کردن دوباره همان کسر، خطای شمارش را برطرف نمی‌کند.
- واحد انتخاب معلوم است: مهره، کارت یا نتیجه کامل چند مرحله؟
- برابری شانسها از صورت سؤال می‌آید، نه از تعداد نام گروهها.
- مشخص کرده‌ام انتخاب قبلی بازگردانده میشود یا کنار می‌ماند.
- در صورت و مخرج، ترتیب و تکرار را با یک قرارداد شمرده‌ام.
- خواسته «دقیقاً»، «دست‌کم» یا «هیچ» را روی یک نمونه امتحان کرده‌ام.
- هیچ مسیر مجازی جا نیفتاده و هیچ مسیر واحدی دوبار شمرده نشده است.
- پاسخ از ۰ کمتر یا از ۱ بیشتر نیست و می‌توانم معنای آن را توضیح دهم.
جمع‌بندی: اول مدل انتخاب، بعد کسر احتمال
در تمرین احتمال، یک فهرست کوتاهِ درست از حالتهای همشانس، از فرمولی که شرطش روشن نیست مفیدتر است. برای تمرین بعدی، تنها شرط بازگرداندن را در یک مسئله عوض کنید و پیش از حساب‌کردن بگویید کدام مسیرها اضافه یا حذف می‌شوند. سپس خواسته را از «دقیقاً» به «دست‌کم» تغییر دهید و این بار فقط حالتهای مطلوب را دوباره انتخاب کنید.
دانش‌آموز ششم می‌تواند مسیرها را با کارت یا مهره روی میز بسازد؛ دانش‌آموز نهم نیز اگر در تعریف حالت مشکل دارد، از همین نمایش شروع کند. والدین می‌توانند به‌جای گفتن پاسخ بپرسند «چرا این حالتها هم‌شانس‌اند؟». اگر تشخیص پیش‌نیاز یا انتخاب سطح تمرین دشوار است، نمونه حل دانش‌آموز را برای بررسی در مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) همراه داشته باشید.
پرسش‌های پرتکرار
چرا با وجود دو رنگ، احتمال هر رنگ لزوماً یک‌دوم نیست؟
چون واحد انتخاب ممکن است مهره باشد، نه رنگ. اگر دو مهره آبی و یک نارنجی با شانس برابر انتخاب شوند، آبی دو حالت از سه حالت را دارد و احتمال آن دوسوم است. گروه‌های رنگی به‌خودی‌خود همشانس نیستند.
فرمول حالتهای مطلوب تقسیم بر کل حالتها همیشه درست است؟
این شیوه شمارش زمانی معتبر است که حالتهای شمردهشده همشانس باشند. اگر شانسها برابر نیستند، یا باید مدل را به حالتهای همشانس مناسب تبدیل کرد یا اطلاعات احتمال هر حالت را داشت؛ صرف تعداد گروهها کافی نیست.
در دو برداشت، ترتیب را حساب کنیم یا نه؟
میتوانید برداشت اول و دوم را جدا ثبت کنید، حتی اگر خواسته فقط رنگها یا مجموع باشد. مهم این است که صورت و مخرج با یک قرارداد و بر پایه حالتهای همشانس شمرده شوند. مسیرهای مرتب را در مخرج با جفتهای نامرتب در صورت مخلوط نکنید.
با و بدون بازگرداندن چه تفاوتی در حل ایجاد میشود؟
با بازگرداندن، شیء انتخابشده دوباره در دسترس است؛ بدون بازگرداندن، آن شیء از انتخابهای بعدی حذف میشود. بنابراین باید هم تعداد کل حالتها و هم حالتهای مطلوب را دوباره بررسی کنید؛ فقط کمکردن یک عدد از مخرج کافی نیست.