برای حل تمرین نمودار ون در تیزهوشان، هر ویژگی را یک گروه در نظر بگیرید و عضوهای دارای هر دو ویژگی را در قسمت مشترک بگذارید. سپس بخش‌های «فقط گروه نخست»، «فقط گروه دوم» و «هیچکدام» را جدا کنید. جمع ساده تعداد دو گروه، عضوهای مشترک را دوباره می‌شمارد. این راهنما برای دانش‌آموزان ششم و نهم، روش خواندن و پر کردن نمودار را با کارت‌های فرضی آموزش می‌دهد؛ همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
نمودار ون چه چیزی را نشان می‌دهد؟
نمودار ون، عضویت در گروه‌ها و رابطه میان آن‌ها را نشان می‌دهد. برای تمرین این مقاله یک مستطیل بکشید و داخل آن دو دایره هم‌پوشان قرار دهید. مستطیل همه کارت‌های مورد بررسی را در بر می‌گیرد؛ دایره نخست برای کارت‌های آبی و دایره دوم برای کارت‌های ستاره‌دار است. اندازه دایرهها قرار نیست تعداد کارت‌ها را نشان دهد.
کارت آبیِ ستاره‌دار فقط یک کارت است، اما عضو هر دو گروه است؛ جای آن بخش مشترک دو دایره است. کارت قرمزِ بی‌ستاره بیرون هر دو دایره و همچنان داخل مستطیل قرار می‌گیرد. بیرون بودن از دایرهها به معنی حذف شدن از کل مسئله نیست.
- فقط آبی: داخل دایره آبی و بیرون دایره ستاره‌دار.
- هر دو ویژگی: در قسمت مشترک دایرهها؛ این بخش «اشتراک» است.
- فقط ستاره‌دار: داخل دایره ستاره‌دار و بیرون دایره آبی.
- هیچکدام: بیرون هر دو دایره، داخل مستطیل.
نام گروه را با نام ناحیه اشتباه نگیرید
دایره آبی، هم کارت‌های فقط آبی و هم کارت‌های آبیِ ستاره‌دار را شامل میشود. پس وقتی سؤال می‌گوید «کارت‌های آبی»، نباید عدد آن را بی‌واسطه در قسمت فقط آبی بنویسید. ابتدا ببینید داده مربوط به کل دایره است یا یکی از ناحیه‌های آن.
عبارت‌های «هر دو»، «دستکم یکی» و «فقط یکی» را ترجمه کنید
پیش از محاسبه، ناحیه‌ای را که سؤال میخواهد با مداد مشخص کنید. تفاوت یک واژه ممکن است پاسخ را عوض کند: «دستکم یکی از دو ویژگی» یعنی آبی، ستاره‌دار یا هر دو؛ در زبان مجموعه‌ها این بخش «اجتماع» دو گروه است. «دقیقاً یکی از دو ویژگی» قسمت مشترک را کنار می‌گذارد.
عبارت «فقط آبی» تنها یک ناحیه را میخواهد، اما «فقط یکی از دو ویژگی» هر دو ناحیه غیرمشترک را شامل میشود. اگر صورت سؤال از «یا» استفاده کرده، بررسی کنید آیا داشتن هر دو را مجاز دانسته یا با عبارتی مثل «اما نه هر دو» کنار گذاشته است؛ این محدودیت را از خودتان اضافه نکنید.
برای تمرین کنترل واژه‌های تعیین‌کننده خواسته، راهنمای سرعت و دقت تیزهوشان را بخوانید.
مثال حل‌شده: از اشتراک شروع کنید
در یک بسته فرضی ۱۸ کارت داریم. ۱۰ کارت آبی‌اند، ۹ کارت ستاره دارند و ۴ کارت هم آبی‌اند و هم ستاره‌دار. چند کارت فقط آبی است؟ چند کارت دستکم یکی از این دو ویژگی را دارد و چند کارت هیچکدام را ندارد؟ این عددها داده یک مسئله ساختگی‌اند.
ابتدا ۴ را در قسمت مشترک بنویسید. از ۱۰ کارت آبی، ۴ کارت همین‌جا قرار گرفته‌اند؛ پس فقط آبی برابر ۶ است. از ۹ کارت ستاره‌دار نیز ۴ کارت مشترک‌اند؛ پس فقط ستاره‌دار برابر ۵ است. اکنون ناحیه‌ها جدا شده‌اند و می‌توان آن‌ها را بدون تکرار جمع کرد.
- فقط آبی: ۶ کارت.
- هر دو ویژگی: ۴ کارت.
- فقط ستاره‌دار: ۵ کارت.
- دستکم یکی: ۶ + ۴ + ۵ = ۱۵ کارت.
- هیچکدام: از ۱۸ کارت، ۱۵ کارت داخل دایره‌هاست؛ پس ۳ کارت بیرون آن‌ها می‌ماند.
- دقیقاً یکی از دو ویژگی: ۶ + ۵ = ۱۱ کارت.
چرا جمع ۱۰ و ۹ پاسخ نیست؟
در جمع تعداد آبی‌ها و ستاره‌دارها، هر کارت مشترک یک بار همراه آبی‌ها و یک بار همراه ستاره‌دارها حساب شده است. برای شمارش دستکم یکی، باید همان ۴ کارت اضافی را یک بار کم کنیم: مجموع ۱۹، با کم کردن ۴، برابر ۱۵ میشود. برای شمارش دقیقاً یکی، کارت مشترک اصلاً نباید در پاسخ باشد؛ به همین دلیل در این مثال از مجموع ۱۹، دو بار ۴ کم میشود و ۱۱ باقی می‌ماند.
پاسخ را با داده‌های اصلی کنترل کنید
فقط آبی و اشتراک باید روی هم ۱۰ شوند: ۶ + ۴ = ۱۰. فقط ستاره‌دار و اشتراک باید ۹ شوند: ۵ + ۴ = ۹. جمع همه ناحیه‌های جدا، شامل هیچکدام، هم باید کل بسته را بدهد: ۶ + ۴ + ۵ + ۳ = ۱۸. این کنترل‌ها کمک می‌کنند خطای جای‌گذاری را از خطای محاسبه جدا کنید.
برای آشنایی با اصلِ پوشش همه حالت‌ها و جلوگیری از تکرار، روش شمارش منظم را ببینید.
تمرین مستقل: وقتی تعداد اشتراک داده نشده است
بسته دیگری با ۱۶ کارت فرض کنید. ۹ کارت آبی و ۸ کارت ستاره‌دار است. ۲ کارت هیچکدام از این دو ویژگی را ندارد. پیش از خواندن پاسخ، تعداد کارت‌های دارای دستکم یک ویژگی، اشتراک و کارت‌های دارای دقیقاً یک ویژگی را پیدا کنید.
پاسخ از بیرون دایرهها به داخل
چون ۲ کارت بیرون هر دو دایره‌اند، ۱۴ کارت داخل اجتماع قرار می‌گیرد. مجموع تعداد دو گروه ۱۷ است؛ اختلاف آن با اجتماعِ ۱۴، همان ۳ کارتِ دوباره‌شمرده‌شده است. پس اشتراک ۳ کارت است. فقط آبی ۶ و فقط ستاره‌دار ۵ کارت میشود؛ در نتیجه دقیقاً یکی از دو ویژگی را ۱۱ کارت دارد. کنترل کل: ۶ + ۳ + ۵ + ۲ = ۱۶.
اگر داده «هیچکدام» را حذف کنیم
با دانستن فقط کل ۱۶، آبی ۹ و ستاره‌دار ۸، اشتراک یکتا نیست. برای نمونه، اشتراک ۱ با هیچ‌کدامِ صفر سازگار است؛ اشتراک ۳ با هیچ‌کدامِ ۲ هم سازگار است. هر دو، تعداد گروه‌ها و کل بسته را حفظ می‌کنند. بنابراین نباید به‌طور خودکار فرض کنید همه کارت‌ها داخل دستکم یک دایره‌اند؛ چنین فرضی به داده نیاز دارد.
همیشه دو دایره هم‌پوشان لازم است؟
اگر مسئله بگوید «همه کارت‌های آبی ستاره دارند»، هیچ کارتی در بخش فقط آبی قرار نمی‌گیرد؛ می‌توانید دایره آبی را داخل دایره ستاره‌دار بکشید. این رابطه به‌تنهایی نمی‌گوید همه کارت‌های ستاره‌دار آبی‌اند. اگر مسئله بگوید «هیچ کارت آبی ستاره ندارد»، اشتراک خالی است و دو دایره جدا رسم می‌شوند.
برای داده‌های شمارشی نامعلوم، طرح هم‌پوشان به شما جا برای ثبت همه ناحیه‌ها می‌دهد؛ ممکن است مقدار بعضی ناحیه‌ها صفر شود. شکل اولیه نباید شرط تازه‌ای به مسئله تحمیل کند. همچنین اگر شمارش یک ناحیه منفی شد یا اشتراک از یکی از گروه‌ها بزرگ‌تر شد، حل را پذیرفته‌شده ندانید؛ داده‌ها و انتقال آن‌ها را دوباره بررسی کنید.
برای بررسی جهت جمله «هر کارت آبی ستاره دارد»، راهنمای استدلال شرطی تیزهوشان را بخوانید.
جمع‌بندی: هر کارت یک جای مشخص، هر داده یک کنترل
برای تمرین بعدی، نمودار مثال را بدون نگاه به حل رسم کنید و نام هر ناحیه را بنویسید. سپس خواسته را از «دستکم یکی» به «دقیقاً یکی» تغییر دهید و توضیح دهید کدام ناحیه از پاسخ حذف میشود. اگر هنوز کل دایره را با بخش غیرمشترک اشتباه می‌گیرید، با کارت‌های کاغذی آبی و ستاره‌دار، عضویت هر کارت را جدا بررسی کنید.
برای ششم یا نهم، دشواری را با توان توضیح ناحیه‌ها تنظیم کنید؛ پیش از افزودن گروه سوم، همین رابطه‌های دو گروه را روشن کنید. والدین می‌توانند بپرسند «این کارت در کدام قسمت می‌رود و چرا؟» و فرصت اصلاح بدهند. هدف، خواندن دقیق داده و کنترل پاسخ در مسیر آمادگی آزمون تیزهوشان است؛ نتیجه آزمون با این تمرین تضمین نمیشود.
- کل مجموعه و معنای هر گروه روشن است.
- عدد کل دایره را در بخش «فقط» ننوشته‌ام.
- اشتراک را در شمارش اجتماع فقط یک بار آورده‌ام.
- ناحیه هیچکدام را فراموش نکرده‌ام.
- جمع ناحیه‌های جدا با کل داده‌شده سازگار است.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
در نمودار ون، تعداد هر گروه را کجا بنویسم؟
اگر داده مربوط به کل گروه است، آن را کنار نام دایره یادداشت کنید. داخل ناحیه فقط همان گروه، باید تعداد کل گروه منهای اشتراک قرار بگیرد؛ عدد کل را مستقیم در آن ناحیه نگذارید.
دستکم یکی با دقیقاً یکی چه فرقی دارد؟
دستکم یکی، عضوهای دارای هر دو ویژگی را هم شامل میشود. دقیقاً یکی فقط دو بخش غیرمشترک را میخواهد و اشتراک در آن حساب نمیشود.
اگر تعداد عضوهای مشترک معلوم نباشد، می‌توان آن را پیدا کرد؟
اگر تعداد هر دو گروه و اجتماع را داشته باشید، اختلاف مجموع دو گروه با اجتماع، اشتراک است. اجتماع را می‌توان از کل مجموعه و تعداد هیچکدام هم به دست آورد. بدون داده کافی، ممکن است چند مقدار سازگار باقی بماند.
آیا بیرون دایرهها را هم باید بشماریم؟
اگر سؤال کل مجموعه یا هیچکدام را میخواهد، بله. عضوهای بیرون هر دو دایره ولی داخل مستطیل، بخشی از کل مجموعهاند؛ فقط هیچیک از دو ویژگی را ندارند.