برای شمارش مسیرها روی شبکه در تمرین تیزهوشان، ابتدا نقطه شروع، مقصد و حرکتهای مجاز را مشخص کنید. اگر فقط حرکت به راست و پایین مجاز است، کنار هر جایگاه تعداد راههای رسیدن به آن را بنویسید؛ این تعداد از جمع راههای ورودیِ مجاز به دست می‌آید. خانه ممنوع نیز سهمی در ادامه مسیر ندارد. این راهنما روش را برای دانش‌آموزان ششم و نهم از یک فهرست کوچک تا شبکه دارای مانع توضیح می‌دهد. همه نمونه‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
اول مشخص کنید مسیر روی خانه‌هاست یا خط‌های شبکه
در بعضی تصویرها حرکت از مرکز یک خانه به مرکز خانه کناری انجام میشود؛ در بعضی دیگر، روی خط‌ها و از یک تقاطع به تقاطع بعدی. این دو را مخلوط نکنید: شبکه‌ای با دو ردیف خانه، سه ردیف تقاطع دارد. پیش از شمردن، محل دقیق شروع و پایان را روی همان تصویر علامت بزنید.
در مثال‌های این مقاله روی خانه‌ها حرکت میکنیم. ردیف‌ها را از بالا به پایین و ستون‌ها را از چپ به راست شماره می‌گذاریم؛ حرکت فقط به خانه مجاور سمت راست یا پایین مجاز است. پرش، حرکت مورب، چپ و بالا مجاز نیست. این قرارداد آموزشی را تنها وقتی در سؤال دیگر به کار ببرید که متن یا پیکان‌های آن اجازه دهد.
- شروع و پایان کجا هستند؟
- حرکت روی مرکز خانه‌ها انجام میشود یا تقاطع‌ها؟
- کدام جهت‌ها و کدام اتصال‌ها مجازند؟
- آیا خانه، خط یا نقطه‌ای ممنوع یا اجباری است؟
اگر تشخیص جهت حرکت دشوار است، ابتدا روش رسم مسیر و جهت‌یابی را تمرین کنید.
مسیر متفاوت را با ترتیب حرکت‌ها تعریف کنید
فرض کنید سه ردیف و سه ستون خانه داریم و از خانه بالای چپ به خانه پایین راست می‌رویم. هر مسیر مجاز دقیقاً دو حرکت راست و دو حرکت پایین دارد. «راست، راست، پایین، پایین» با «راست، پایین، راست، پایین» دو مسیر متفاوت‌اند، هرچند مقصد و تعداد گام‌ها یکی است.
اگر فقط تعداد گام‌ها را بشمارید، طول مسیر را یافته‌اید، نه تعداد مسیرها را. برای شروع، مسیرها را به صورت رشته‌ای از «ر» برای راست و «پ» برای پایین بنویسید. هر رشته باید دقیقاً دو «ر» و دو «پ» داشته باشد و از مرز شبکه بیرون نرود.
تفاوت یک حالت کامل با انتخاب نیمه‌تمام را در راهنمای شمارش حالت‌های ممکن بخوانید.
مثال حل‌شده: همه مسیرهای شبکه کوچک را فهرست کنید
در همان شبکه سه در سه، مسیرهای آغازشونده با «ر» را کامل کنید، سپس به مسیرهای آغازشونده با «پ» بروید. ترتیب ثبت باید ثابت بماند تا مسیری جا نیفتد یا دوباره نوشته نشود.
- ر، ر، پ، پ
- ر، پ، ر، پ
- ر، پ، پ، ر
- پ، ر، ر، پ
- پ، ر، پ، ر
- پ، پ، ر، ر
چرا پاسخ شش مسیر است؟
اگر حرکت نخست راست باشد، میان سه حرکت باقی‌مانده فقط یک راست داریم؛ جای آن می‌تواند نخست، میانه یا آخر باشد. پس سه مسیر داریم. اگر حرکت نخست پایین باشد، همین استدلال برای یک پایین باقی‌مانده سه مسیر دیگر می‌سازد. این دو گروه جدا هستند و همه مسیرها با یکی از این دو حرکت شروع می‌شوند؛ بنابراین ۳ + ۳ = ۶ مسیر داریم.
به‌جای رسم همه مسیرها، تعداد راههای رسیدن را بنویسید
در شبکه بزرگ‌تر، فهرست‌کردن همه مسیرها طولانی میشود. داخل خانه شروع، عدد ۱ بنویسید؛ این عدد یعنی یک راه برای حضور در نقطه آغاز داریم: هنوز حرکت نکرده‌ایم. در ردیف بالا، هر خانه فقط از چپ قابل رسیدن است و در ستون چپ، هر خانه فقط از بالا. در شبکه بدون مانع، عدد این خانه‌های مرزی ۱ است.
در خانه داخلی، آخرین حرکت یا از چپ آمده یا از بالا. این دو گروه مسیر، آخرین حرکت متفاوت دارند و تکراری نیستند. پس عدد خانه برابر جمع عدد خانه چپ و خانه بالا است. خانه‌ها را ردیف‌به‌ردیف از بالا به پایین و در هر ردیف از چپ به راست پر کنید تا عددهای مورد نیاز از قبل معلوم باشند.
- ردیف بالای مثال سه در سه، از چپ به راست: ۱، ۱، ۱
- ردیف میانی، از چپ به راست: ۱، ۲، ۳
- ردیف پایین، از چپ به راست: ۱، ۳، ۶
عدد هر خانه چه معنایی دارد؟
عدد ۳ در انتهای ردیف میانی یعنی سه مسیر از شروع تا همان خانه داریم؛ نه سه حرکت از آن خانه تا مقصد. عدد خانه مقصد، پاسخ نهایی است. در مثال، عدد ۶ با فهرست شش مسیر مطابقت دارد و کنترل مستقلی برای روش می‌سازد.
خانه ممنوع را صفر کنید و ادامه شبکه را دوباره بسازید
حالا در شبکه سه در سه، ورود به خانه مرکزی، یعنی ردیف ۲ و ستون ۲، ممنوع باشد. داخل آن صفر بنویسید. خانه بعدی هنوز می‌تواند از ورودی دیگر مسیر بگیرد؛ بنابراین ممنوع بودن یک خانه به معنی صفر شدن خودکار همه خانه‌های پس از آن نیست.
ردیف بالا همچنان ۱، ۱، ۱ است. ردیف میانی از چپ به راست ۱، ۰، ۱ میشود و ردیف پایین ۱، ۱، ۲. پاسخ دو مسیر است: دو راست و سپس دو پایین، یا دو پایین و سپس دو راست. چهار مسیر دیگرِ فهرست قبلی وارد مرکز می‌شوند و حذف می‌شوند.
چرا فقط یک مسیر از پاسخ کم نمی‌کنیم؟
یک خانه می‌تواند در چند مسیر قرار داشته باشد. ممنوع کردن خانه مرکزی این مثال، چهار مسیر را حذف می‌کند؛ نه یک مسیر. در مسئله دارای چند مانع هم کم کردن جداگانه مسیرهای هر مانع ممکن است یک مسیر را چند بار حذف کند. صفرگذاری و بازسازی عددها، سهم هر ورودی را در همان محل بررسی می‌کند.
تمرین مستقل: شبکه مستطیلی با یک خانه ممنوع
سه ردیف و چهار ستون خانه بکشید. شروع، خانه ردیف ۱ و ستون ۱ است و مقصد، خانه ردیف ۳ و ستون ۴. فقط راست و پایین مجازند و خانه ردیف ۲ و ستون ۲ ممنوع است. قبل از دیدن پاسخ، عدد خانه‌ها را پر کنید و کنار یک خانه داخلی توضیح دهید عددش از کجا آمده است.
پاسخ و کنترل مرحله‌ها
ردیف نخست از چپ به راست: ۱، ۱، ۱، ۱. ردیف دوم: ۱، ۰، ۱، ۲. ردیف سوم: ۱، ۱، ۲، ۴. پس چهار مسیر مجاز داریم. برای نمونه عدد ۲ در ردیف دوم و ستون چهارم، از یک راهِ ورودی از چپ و یک راهِ ورودی از بالا ساخته میشود.
اگر خانه ممنوع جابه‌جا شود چه تغییری رخ می‌دهد؟
مانع را به ردیف ۲ و ستون ۳ منتقل کنید و مانع قبلی را بردارید. این بار ردیف‌ها به ترتیب ۱، ۱، ۱، ۱؛ سپس ۱، ۲، ۰، ۱؛ و در پایان ۱، ۳، ۳، ۴ هستند. پاسخ باز هم چهار است، اما خانه‌های میانی و مسیرهای مجاز یکسان نیستند. برابر شدن جواب نهایی، به‌تنهایی درستی روند حل را نشان نمی‌دهد.
اگر فقط عدد نهایی را می‌فهمید، روش استفاده از پاسخنامه برای بازسازی مستقل حل را اجرا کنید.
قاعده جمع را فقط با ورودی‌های مجاز اجرا کنید
اگر بخشی از یک اتصال حذف شده باشد، سهم آن ورودی را اضافه نکنید؛ خودِ خانه شاید از جهت دیگر قابل رسیدن باشد. خانه ممنوع با خط ممنوع یکسان نیست. اگر حرکت مورب هم مجاز باشد، ممکن است ورودی دیگری به جمع افزوده شود، اما فقط مطابق قانون همان سؤال.
اگر بالا و چپ نیز مجاز باشند و بتوان بارها به خانه‌ای برگشت، این پرکردن ساده کافی نیست؛ عددهای خانه‌ها به یکدیگر وابسته می‌شوند. باید محدودیت تعداد گام یا ممنوعیت تکرار را از متن پیدا کنید و روش دیگری مانند فهرست حالت‌ها را بررسی کنید. همچنین شرط «باید از یک خانه خاص بگذریم» با «نباید وارد آن شویم» متفاوت است. مثال‌های این مقاله درباره شرط دوم‌اند.
چک‌لیست، اصلاح خطا و قدم بعدی
اگر جواب نادرست شد، نخستین خانه‌ای را پیدا کنید که عددش با راههای ورودی سازگار نیست. در خطای مرز، اتصال‌ها را دوباره علامت بزنید؛ در خطای مانع، صفرگذاری را کنترل کنید؛ در خطای جمع، دو ورودی همان خانه را جدا بنویسید. به‌جای رسم دوباره همه مسیرها، همان گام مشکل‌دار را اصلاح کنید.
دانش‌آموز ششم می‌تواند ابتدا مسیرهای شبکه کوچک را با مدادهای رنگی رسم کند و سپس تعدادها را بنویسد. دانش‌آموز نهم نیز اگر دلیل جمع ورودی‌ها روشن نیست، از همان مثال کوچک آغاز کند؛ دشوارتر شدن با افزودن یک مانع یا تغییر یک اتصال معنا دارد، نه صرفاً بزرگ کردن تصویر. والدین می‌توانند بپرسند «آخرین گام این مسیر از کجا آمده؟» و فرصت توضیح بدهند.
جمع‌بندی: پاسخ قابل دفاع از قانون حرکت، تعداد راههای رسیدن و کنترل مانع ساخته میشود. یک شبکه کوچک را با دو روش فهرست و عددگذاری حل کنید؛ سپس فقط یک قید را تغییر دهید. این تمرین برای پرورش حل مسئله در مسیر آمادگی آزمون تیزهوشان است و درباره فراوانی سؤال یا نتیجه پذیرش وعده‌ای ندارد.
- مبدأ، مقصد و قرارداد ردیف و ستون مشخص است.
- عدد خانه‌ها تعداد راه رسیدن است، نه تعداد گام‌ها.
- فقط ورودی‌های مجاز در جمع آمده‌اند.
- خانه ممنوع صفر است و عددهای بعدی بازسازی شده‌اند.
- جواب مثال کوچک با فهرست مسیرها کنترل شده است.
برای انتخاب تمرین بعدی بر اساس گام مشکل‌دار، نقشه تمرین استعداد تحلیلی را بخوانید.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
چرا عدد خانه شروع را یک مینویسیم؟
عددها تعداد راههای رسیدن را نشان میدهند. برای حضور در نقطه آغاز پیش از هر حرکت، یک حالت آغازین داریم. صفر نوشتن در شروع باعث میشود هیچ مسیری در ادامه ساخته نشود.
آیا تعداد مسیرها همان تعداد حرکت‌هاست؟
خیر. در مثال سه در سه، هر مسیر چهار حرکت دارد، اما شش ترتیب مجاز برای این حرکت‌ها وجود دارد. طول مسیر و تعداد مسیرها دو خواسته متفاوت‌اند.
برای خانه ممنوع باید عدد یک را از جواب کم کنیم؟
خیر. یک خانه ممکن است در چند مسیر قرار بگیرد. عدد آن خانه را صفر کنید و تعداد راههای رسیدن به خانه‌های بعدی را از ورودی‌های مجاز دوباره حساب کنید.
آیا همیشه عدد چپ و بالا را جمع میکنیم؟
فقط وقتی حرکتهای ورودی مجاز از چپ و بالا باشند و تعداد راههای آنها از قبل مشخص باشد. اتصال حذفشده سهم ندارد؛ حرکت مورب یا امکان برگشت نیز نیازمند بررسی قانون و روش حل همان سؤال است.