برای پیدا کردن میانه، دادهها را با حفظ تکرارها از کوچک به بزرگ مرتب کنید و مقدار وسط را بردارید؛ اگر تعداد زوج است، میانگین دو مقدار وسط را حساب کنید. برای پیدا کردن نما، مقدار یا مقدارهایی را مشخص کنید که بیشترین بار تکرار شده‌اند. این دو کار با محاسبه میانگین همه دادهها فرق دارند. در این راهنمای تمرینی تیزهوشان ششم و نهم، با کارت‌های عددی این تفاوت را بررسی می‌کنیم؛ همه مثال‌ها فرضی و تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
میانه، نما و میانگین به سه پرسش متفاوت پاسخ می‌دهند
فرض کنید روی چند کارت عدد نوشته‌ایم. میانه به جایگاه وسطِ کارت‌ها پس از مرتب‌سازی مربوط است. نما به تعداد تکرار هر مقدار مربوط است. میانگین حسابی از مجموع همه عددها و تعداد کارت‌ها به دست میآید. بنابراین پیش از هر محاسبه، زیر نام شاخصی که سؤال خواسته خط بکشید؛ دانستن یک فرمول، جای تشخیص خواسته را نمی‌گیرد.
در این مقاله هر کارت یک داده است و همه کارت‌ها وزن یکسان دارند. حتی اگر دو کارت عدد یکسان داشته باشند، هر دو را نگه می‌داریم. داده‌های اندازه‌گیری‌شده هم باید هم‌نوع و با واحد یکسان باشند؛ مقایسه یا جمع طول و زمان در چنین فهرستی معنای موردنظر را ندارد.
اگر خواسته، میانگین یا بازسازی مجموع از میانگین است، آموزش مسائل میانگین در تیزهوشان را بخوانید.
میانه با تعداد فرد؛ مقدار وسط را پس از مرتب‌سازی پیدا کنید
روی پنج کارت، به همین ترتیب، عددهای «۹، ۲، ۷، ۴، ۷» نوشته شده است. کارت وسطِ فهرست اولیه عدد ۷ دارد، اما این اتفاق به‌تنهایی دلیل میانه بودن آن نیست. ابتدا فهرست را مرتب می‌کنیم: «۲، ۴، ۷، ۷، ۹». اکنون سومین کارت، عدد ۷، در وسط قرار دارد و میانه است.
دو کارت پیش از جایگاه سوم و دو کارت پس از آن قرار دارند. لازم نیست مقدار کارت‌های سمت چپ همگی از میانه کوچک‌تر و مقدارهای سمت راست همگی از آن بزرگ‌تر باشند؛ مساوی بودن مجاز است. در همین مثال، یکی از کارت‌های سمت راست هم عدد ۷ دارد.
شماره جایگاه را با مقدار داده اشتباه نگیرید
برای تعداد فرد، با افزودن ۱ به تعداد دادهها و نصف‌کردن حاصل، شماره جایگاه میانی به دست میآید. اینجا تعداد ۵ است، پس جایگاه میانی ۳ است؛ اما پاسخ میانه، عدد ۳ نیست. باید به کارت سومِ فهرست مرتبشده نگاه کنیم و مقدار ۷ را گزارش دهیم.
مثال دیگری را امتحان کنید: «۸، ۱، ۳». دادهها پس از مرتب‌سازی «۱، ۳، ۸» هستند و میانه ۳ است. انتخاب عدد وسطِ فهرست اولیه، یعنی ۱، خطای نادیده‌گرفتن ترتیب است.
میانه با تعداد زوج؛ دو کارت وسط داریم
شش کارت با عددهای «۱۲، ۳، ۸، ۶، ۳، ۱۰» داریم. فهرست مرتبشده «۳، ۳، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲» است. این بار یک کارت مرکزی نداریم؛ دو کارت سوم و چهارم در وسط قرار می‌گیرند. میانه برابر میانگین ۶ و ۸ است: مجموع آنها ۱۴ و نصف آن ۷ می‌شود.
لازم نیست میانه روی یکی از کارت‌ها نوشته شده باشد. در این مثال هیچ کارتی عدد ۷ ندارد، ولی میانه ۷ است. همچنین میانگین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد، یعنی ۳ و ۱۲، میانه را نمی‌دهد؛ دو مقدار مرکزی را باید از جایگاهشان پیدا کنیم، نه از دو سر فهرست.
چرا حذف تکرارها پاسخ را عوض می‌کند؟
اگر یکی از کارت‌های ۳ را کنار بگذارید، فهرست به «۳، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲» تبدیل می‌شود و میانه آن ۸ است. این پاسخ مربوط به مجموعه تازه است. مرتب‌سازی اجازه تغییر تعداد کارت‌ها را نمی‌دهد؛ پس برای محاسبه میانه، فهرست عددهای متفاوت نسازید.
برای ثبت همه حالت‌ها و جلوگیری از حذف یا دوباره‌شماری، روش شمارش منظم را تمرین کنید.
نما، مقدار پرتکرار است؛ تعداد تکرار را به جای آن ننویسید
به پنج کارتِ مثال اول برگردید: «۹، ۲، ۷، ۴، ۷». عدد ۷ دو بار و هر عدد دیگر یک بار آمده است؛ پس نما ۷ است. عدد ۲ در عبارت «دو بار» تعداد تکرار است، نه پاسخ نما. برای جلوگیری از این اشتباه، کنار هر مقدار بنویسید چند کارت آن را دارند.
ممکن است بیش از یک نما داشته باشیم
در فهرست «۲، ۲، ۵، ۵، ۹»، عددهای ۲ و ۵ هرکدام دو بار تکرار شده‌اند و از ۹ پرتکرارترند. پس هر دو نما هستند. یکی را فقط چون کوچک‌تر است یا زودتر دیده می‌شود انتخاب نکنید. اگر پرسش از «تنها نما» حرف بزند، این دادهها چنین شرطی را برآورده نمی‌کنند.
وقتی هیچ مقداری پرتکرارتر نیست
در فهرست «۲، ۴، ۶، ۸» همه مقدارها یک بار آمده‌اند. در قرارداد آموزشی رایج، می‌گوییم این مجموعه نما ندارد؛ هیچ مقدار پرتکرارتری وجود ندارد. اگر منبع تمرین برای حالت فراوانی‌های برابر قرارداد دیگری تعریف کرده باشد، همان تعریف را در پاسخ روشن کنید. «نما ندارد» به معنی نمای صفر نیست؛ صفر یک مقدار عددی است که در این فهرست اصلاً حضور ندارد.
یک مجموعه، سه پاسخ؛ کدام شاخص تغییر را نشان میدهد؟
پنج کارت «۲، ۴، ۴، ۶، ۹» را در نظر بگیرید. میانه ۴ است، چون کارت سومِ فهرست مرتبشده ۴ دارد. نما هم ۴ است، چون دوبار آمده است. مجموع ۲۵ و تعداد ۵ است؛ پس میانگین ۵ می‌شود. برابر شدن میانه و نما در این مثال، به معنی یکسان بودن تعریفشان نیست.
حالا فقط کارت ۹ را با کارت ۲۹ عوض کنید. فهرست «۲، ۴، ۴، ۶، ۲۹» می‌شود. میانه و نما همچنان ۴ هستند، اما مجموع از ۲۵ به ۴۵ و میانگین از ۵ به ۹ می‌رسد. دلیل ثابت ماندن میانه، تغییر نکردن مقدار وسط است؛ دلیل ثابت ماندن نما، تغییر نکردن مقدار پرتکرار است.
از ثابت ماندن در یک مثال، قانون همیشگی نسازید
اگر به جای کارت ۹، یکی از کارت‌های ۴ را با ۲۹ عوض کنیم، فهرست «۲، ۴، ۶، ۹، ۲۹» می‌شود و میانه به ۶ تغییر می‌کند؛ دیگر هم مقدار پرتکرارتری نداریم. پس جمله «با عوض شدن یک داده، میانه و نما هرگز تغییر نمی‌کنند» نادرست است. باید اثر تغییر را روی ترتیب و فراوانی واقعی بررسی کنیم.
منبع مفهومی برای مطالعه تکمیلی: راهنمای آموزشی AQA درباره میانگین، میانه و نما؛ فایل انگلیسی است.
آیا با دانستن میانگین، میانه و نما هم معلوم می‌شوند؟
دو فهرست سه‌کارتی «۱، ۵، ۹» و «۲، ۲، ۱۱» هر دو مجموع ۱۵ و میانگین ۵ دارند. اما میانه اولی ۵ و میانه دومی ۲ است. در اولی مقدار پرتکرارتری نداریم؛ در دومی نما ۲ است. بنابراین تعداد و میانگین یکسان برای تعیین میانه یا نما کافی نیست.
در سؤال‌های اطلاعات ناکافی، به جای حدس زدنِ داده‌های پنهان، دو مجموعه سازگار با شرط‌ها بسازید. اگر خواسته در آنها پاسخ متفاوتی داشت، داده‌های موجود جواب یکتا نمی‌دهند. اگر سؤال شرط دیگری مثل مرتب بودن فهرست یا تکرار مشخص یک عدد داده است، آن شرط را هم در هر دو مجموعه نگه دارید.
روش بررسی پاسخ یکتا با ساخت دو حالت را در راهنمای کفایت داده تیزهوشان دنبال کنید.
تمرین مستقل؛ اول ترتیب و فراوانی، بعد پاسخ
پیش از دیدن پاسخ، هر فهرست را روی کاغذ مرتب کنید و تکرارها را نگه دارید. میانه و نما را با دو دلیل جدا بنویسید؛ فقط نوشتن عدد نهایی محل اشتباه را نشان نمی‌دهد.
- تمرین الف: در فهرست «۸، ۲، ۶، ۲، ۱۰، ۴»، میانه و نما چیست؟
- تمرین ب: در فهرست «۳، ۳، ۷، ۷، ۱۰»، آیا نما و میانه برابرند؟
- تمرین پ: در فهرست مرتبشده «۲، ۴، ۶، ۸، ۱۰»، کارت ۱۰ را با ۳۰ عوض می‌کنیم. میانه و میانگین چه تغییری می‌کنند؟
پاسخ الف: نصف مجموع دو مقدار وسط
فهرست مرتب «۲، ۲، ۴، ۶، ۸، ۱۰» است. کارت‌های سوم و چهارم مقدارهای ۴ و ۶ دارند؛ پس میانه ۵ است. عدد ۲ دو بار آمده و بقیه یک بار؛ نما ۲ است. پاسخ میانه ۴ یا ۶ یعنی یکی از دو کارت وسط را به‌تنهایی انتخاب کرده‌اید.
پاسخ ب: چند نما و یک میانه
میانه، مقدار کارت سوم یعنی ۷ است. عددهای ۳ و ۷ هر دو با دو تکرار نما هستند. بنابراین میانه با یکی از نماها برابر است، اما نمی‌توان گفت مجموعه فقط نمای ۷ دارد. تمام مقدارهایی را گزارش کنید که بیشترین فراوانی را دارند.
پاسخ پ: ترتیب وسط ثابت، مجموع متفاوت
پیش از تغییر، میانه ۶ و میانگین نیز ۶ است، چون مجموع ۳۰ است. پس از تغییر، فهرست «۲، ۴، ۶، ۸، ۳۰» می‌شود؛ میانه همچنان ۶ است، اما مجموع ۵۰ و میانگین ۱۰ می‌شود. تغییر بزرگ‌ترین مقدار در این مثال جایگاه یا مقدار کارت مرکزی را تغییر نداده است.
جمع‌بندی و چک‌لیست حل میانه و نما
برای میانه، برگه حل باید فهرست مرتب و جایگاه مرکزی را نشان دهد؛ برای نما، باید فراوانی مقدارها معلوم باشد. اگر نام شاخص را اشتباه خوانده‌اید، محاسبه بیشتر آن را اصلاح نمی‌کند. در تمرین بعدی از خودتان بپرسید «خواسته درباره جایگاه است، تکرار یا تقسیم مجموع؟» و فقط مسیر مربوط را اجرا کنید.
در ششم می‌توان با جابه‌جایی کارت‌های کاغذی شروع کرد و در نهم همان روش را روی فهرست‌های طولانی‌تر و سؤال‌های داده ناکافی سنجید. سطح تمرین را با توان توضیح مستقل تنظیم کنید. اگر انتخاب تمرین و جای آن در برنامه دشوار است، مسیر مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) برای بررسی برنامه در دسترس است.
- نام شاخص خواسته‌شده را مشخص کرده‌ام.
- تعداد دادهها و همه تکرارها را حفظ کرده‌ام.
- برای میانه، فهرست مرتب و فرد یا زوج بودن تعداد را بررسی کرده‌ام.
- مقدار داده را با شماره جایگاه یا تعداد تکرار اشتباه نگرفته‌ام.
- در نما، تمام مقدارهای دارای بیشترین تکرار را بررسی کرده‌ام.
- پس از تغییر داده، ترتیب و فراوانی را دوباره کنترل کرده‌ام.
درخواست مشاوره برای تنظیم برنامه و تمرین آمادگی آزمون تیزهوشان
پرسش‌های پرتکرار
فرق میانه و نما با میانگین چیست؟
میانه از وسط فهرست مرتبشده به دست میآید؛ نما مقدار یا مقدارهای دارای بیشترین تکرار است؛ میانگین حسابی برابر مجموع همه مقدارها تقسیم بر تعداد دادههاست. این شاخصها ممکن است در یک مجموعه برابر باشند، اما روش محاسبه آنها متفاوت است.
اگر تعداد دادهها زوج باشد، میانه را چطور حساب کنیم؟
پس از مرتبکردن دادهها با حفظ تکرارها، دو مقدار وسط را جمع و حاصل را بر ۲ تقسیم کنید. پاسخ ممکن است در فهرست اصلی وجود نداشته باشد.
آیا یک مجموعه می‌تواند دو نما داشته باشد؟
بله. اگر دو مقدار بیشترین فراوانی یکسان را داشته باشند و بقیه کمتر تکرار شده باشند، هر دو نما هستند؛ مانند ۲ و ۵ در فهرست «۲، ۲، ۵، ۵، ۹».
برای محاسبه میانه، عددهای تکراری را حذف کنیم؟
خیر. هر تکرار یک داده مستقل در شمارش است. حذف آنها تعداد دادهها و جایگاه وسط را تغییر میدهد و ممکن است پاسخ میانه را عوض کند.