برای شمارش وجههای آزاد مکعبها در تمرین تیزهوشان، ابتدا برای هر مکعب ۶ وجه در نظر بگیرید؛ سپس بهازای هر اتصال کاملِ دو مکعب، ۲ وجه کم کنید. اگر سؤال سطحِ بدون کف را میخواهد، وجههای تماس با زمین را هم جدا کم کنید. نکته اصلی، شمردن درست اتصال‌هاست: یک سطح مشترک، دو وجه را می‌پوشاند. در این راهنمای ششم و نهم، با سازه‌های قابل رسم روی کاغذ این روش را تمرین میکنیم؛ همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
وجه آزاد را از وجه دیده‌شده در تصویر جدا کنید
منظور از وجه آزاد در این مقاله، یک وجه مربعیِ مکعب کوچک است که به مکعب دیگری نچسبیده باشد. بنابراین تا وقتی سؤال کف را استثنا نکرده، زیر سازه را هم می‌شماریم. وجه پشت سازه ممکن است از زاویه تصویر دیده نشود، اما اگر به مکعب دیگری نچسبیده است، همچنان در شمارش قرار می‌گیرد.
واحد پاسخ را مشخص کنید: تعداد مکعبها، تعداد مربعهای کوچک روی سطح، یا مساحت؟ برای مثال، کنار هم قرار گرفتن چند مربع در یک سطح صاف، آن‌ها را در این شمارش به یک وجه تبدیل نمی‌کند؛ ما سهم هر وجهِ مکعب کوچک را می‌شماریم. پس تعداد وجههای مکعب‌مستطیل نهایی، پاسخ این نوع سؤال نیست.
در تمرین‌های این صفحه، مکعبها هم‌اندازه‌اند، روی خانه‌های یک شبکه منظم قرار می‌گیرند و اتصال‌ها تمام یک وجه را می‌پوشانند. سازه‌ها حفره بسته داخلی ندارند. این فرض‌ها اجازه می‌دهند با شمارش مربعهای کامل پیش برویم.
اگر موضوع سؤال رنگ‌کردن باشد، زمان آن مهم است
رنگ‌کردن سطح سازه پس از چسباندن مکعبها با رنگ‌کردن یک مکعب بزرگ و سپس بریدن آن فرق دارد. در حالت نخست، اتصال‌ها مشخص می‌کنند کدام سطح پوشیده است؛ در حالت دوم، باید جای قطعه را نسبت به سطح رنگ‌شده اولیه دنبال کنید. از روی واژه «رنگ» به‌تنهایی روش را انتخاب نکنید.
اگر جسم ابتدا رنگ شده و بعد بریده میشود، راهنمای مکعبهای رنگ‌شده را بخوانید.
چرا از هر اتصال، دو وجه کم میکنیم؟
پیش از اتصال، هر مکعب ۶ وجه دارد. وقتی دو مکعب با یک وجه کامل به هم می‌چسبند، وجه اول از یک مکعب و وجه دوم از مکعب دیگر پوشیده میشود. در نتیجه، هر جفت تماس را یک بار می‌شماریم، اما بابت آن ۲ وجه از مجموع اولیه کم میکنیم.
قاعده شمارش با احتساب کف چنین است: تعداد وجههای آزاد برابر است با ۶ برابر تعداد مکعبها، منهای ۲ برابر تعداد جفت‌های متصل از یک وجه کامل. برای ثبت اتصال‌ها، سه دسته جدا بسازید: چپ و راست، جلو و عقب و بالا و پایین. یک اتصال چپ و راست را دوباره از طرف مکعب دوم ثبت نکنید.
تماس لبه‌ای یا گوشه‌ای، یک وجه را نمی‌پوشاند
دو مکعبی که فقط در یک لبه یا رأس به هم می‌رسند، اتصال کاملِ وجه‌به‌وجه ندارند؛ بابت چنین تماسی ۲ وجه کم نمی‌کنیم. اگر فقط بخشی از دو وجه روی هم قرار گرفته باشد، باید مساحت همان بخش مشترک را از هر دو طرف کم کرد؛ شمارش وجههای کامل برای آن وضعیت کافی نیست.
در سازه دارای حفره بسته نیز قاعده بالا، وجههای رو به حفره را می‌شمارد، چون به مکعب دیگری نچسبیده‌اند. اگر خواسته فقط سطح در تماس با فضای بیرون باشد، باید آن وجهها جدا بررسی شوند. مثال‌های این صفحه چنین حفره‌ای ندارند.
برای ثبت کامل اتصال‌ها بدون دوباره‌شمردن، روش دسته‌بندی در شمارش منظم را ببینید.
تعداد مکعب یکسان، سطح بیرونی متفاوت
با ۴ مکعب هماندازه دو سازه بسازید یا نقشه آن‌ها را بکشید. در سازه اول، هر ۴ مکعب در یک ردیف مستقیم‌اند و هر دو همسایه از یک وجه کامل به هم چسبیده‌اند. در سازه دوم، مکعبها در یک لایه و به شکل مربع ۲ در ۲ چیده شده‌اند. فعلاً کف هر دو سازه را هم حساب میکنیم.
- ردیف مستقیم: ۴ مکعب در آغاز ۲۴ وجه دارند. میان آن‌ها ۳ اتصال وجود دارد؛ با کم‌کردن ۶ وجه، ۱۸ وجه آزاد باقی می‌ماند.
- چیدمان مربعی: تعداد مکعبها و مجموع اولیه همان است، اما ۴ اتصال داریم؛ ۲ اتصال در راستای چپ و راست و ۲ اتصال در راستای جلو و عقب. با کم‌کردن ۸ وجه از ۲۴، پاسخ ۱۶ است.
از روی حجم، سطح را حدس نزنید
هر دو سازه از همان ۴ مکعب ساخته شده‌اند، اما سطح یکسانی ندارند. در سازه دوم، یک اتصال بیشتر باعث پوشیدهشدن ۲ وجه بیشتر شده است. پس دانستن تعداد مکعبها به‌تنهایی برای تعیین سطح کافی نیست؛ جای همسایه‌ها را هم لازم داریم.
مثال لایه‌ای: یک طبقه کامل و یک مکعب روی آن
یک جدول ۲ ردیفی و ۳ ستونی بکشید. ردیف پایین کاغذ را «جلو» و ردیف بالا را «پشت» بنامید؛ ستون‌ها از چپ کاغذ به راست، «چپ»، «وسط» و «راست» هستند. در هر ۶ خانه یک مکعب قرار دارد. یک مکعب دیگر هم روی مکعبِ خانه پشت و وسط بگذارید. همه مکعبها روی هم‌ترازند و در ستون بلندتر فاصله‌ای بین دو مکعب نیست.
نقشه ارتفاع این سازه چنین است: ردیف جلو، چپ ۱، وسط ۱ و راست ۱؛ ردیف پشت، چپ ۱، وسط ۲ و راست ۱. مجموع ارتفاع‌ها ۷ است، پس شمارش اولیه از ۴۲ وجه شروع میشود. اکنون به‌جای حدس‌زدن سطح پنهان، اتصال‌ها را دسته‌بندی کنید.
- در لایه پایین، هر ردیف ۲ اتصال چپ و راست دارد؛ برای دو ردیف، ۴ اتصال میشود.
- میان ردیف جلو و پشت، در هر ستون یک اتصال داریم؛ مجموعاً ۳ اتصال.
- مکعب بالایی فقط با مکعب زیر خودش تماس وجهی دارد؛ پس ۱ اتصال عمودی اضافه میشود.
پاسخ را از مجموع اتصال‌ها به دست آورید
مجموع اتصال‌ها ۸ است: ۴ به‌اضافه ۳ به‌اضافه ۱. بنابراین ۱۶ وجه پوشیده شده و از ۴۲ وجه اولیه، ۲۶ وجه آزاد باقی می‌ماند. این پاسخ، کف را هم در بر می‌گیرد.
یک کنترل مستقل با اضافه‌کردن مکعب بالایی
لایه پایین به‌تنهایی یک مکعب‌مستطیل با ۳ مکعب در طول، ۲ مکعب در عرض و یک مکعب در ارتفاع است. بالا و پایین آن هرکدام ۶ مربع، دو سمت طولی هرکدام ۳ مربع و دو سمت دیگر هرکدام ۲ مربع دارند؛ در مجموع ۲۲ مربع. با افزودن مکعب بالایی، یکی از وجههای بالای سازه پوشیده میشود و ۵ وجه تازه آزاد می‌ماند. تغییر خالص ۴ وجه است؛ پس دوباره به ۲۶ می‌رسیم.
برای تبدیل سازه به جدول ارتفاع و تشخیص مکعبهای پنهان، آموزش نماهای بالا، روبه‌رو و کنار را ببینید.
اگر کف حساب نشود یا مساحت بخواهند چه تغییری میکند؟
اگر در مثال قبل خواسته، سطح سازه به‌جز بخشِ چسبیده به میز باشد، فقط ۶ وجه زیرین را از ۲۶ کم میکنیم و پاسخ ۲۰ میشود. مکعب بالایی با میز تماس ندارد؛ پس کم‌کردن تعداد کل ۷ مکعب اشتباه است. همچنین تماس با میز را دو برابر کم نمی‌کنیم، چون در شمارش اولیه، وجهی برای میز وارد نکرده بودیم.
برای تبدیل تعداد وجه به مساحت، مساحت یک وجه کوچک را حساب کنید. اگر طول ضلع هر مکعب در همین مثال ۲ سانتی‌متر باشد، مساحت هر وجه ۴ سانتی‌متر مربع است. سطح کل با احتساب کف، ۲۶ برابر ۴ یعنی ۱۰۴ سانتی‌متر مربع است؛ سطح بدون کف نیز ۲۰ برابر ۴ یعنی ۸۰ سانتی‌متر مربع خواهد بود.
اگر صورت سؤال درباره کف ساکت بود
در محاسبه مساحت کل سطح یک جسم، وجه زیرین هم بخشی از سطح آن است. اگر سؤال از سطح قابل رنگ‌کردن بدون بلندکردن سازه از میز یا سطح به‌جز کف حرف بزند، زیرِ متصل به میز را کنار می‌گذاریم. وقتی عبارت مبهم است، فرض خود را روشن بنویسید و هر دو مقدار را مشخص کنید؛ زاویه تصویر به‌تنهایی تعیین نمی‌کند کف باید حذف شود.
تمرین مستقل: از جدول ارتفاع به تعداد وجه برسید
یک جدول تازه با همان نام‌گذاری جلو، پشت، چپ، وسط و راست بکشید. عدد هر خانه ارتفاع یک ستون توپر است؛ صفر یعنی آن خانه خالی است. تعداد وجههای آزاد را یک بار با احتساب کف و یک بار بدون وجههای تماس با زمین پیدا کنید. پیش از خواندن پاسخ، تعداد مکعبها، اتصال‌های سه راستا و خانه‌های کف را جدا ثبت کنید.
- ردیف جلو: چپ ۱، وسط ۲، راست ۱.
- ردیف پشت: چپ ۱، وسط ۱، راست ۰.
پاسخ: همسایگی عمودی را فراموش نکنید
جمع ارتفاع‌ها ۶ مکعب است. در راستای چپ و راست، ردیف جلو ۲ اتصال و ردیف پشت ۱ اتصال دارد. بین جلو و پشت، ستون چپ یک اتصال و ستون وسط یک اتصال دارند؛ در ستون راست، خانه پشتی خالی است. ستون جلوییِ وسط نیز یک اتصال عمودی دارد. در مجموع ۶ اتصال داریم؛ از ۳۶ وجه اولیه، ۱۲ وجه کم میشود و پاسخ با کف ۲۴ است.
فقط ۵ خانه روی زمین اشغال شده است، پس برای پاسخ بدون کف، ۵ وجه از ۲۴ کم میکنیم و به ۱۹ می‌رسیم. اتصال عمودیِ ستون بلندتر قبلاً دو وجه را پوشانده است؛ آن را هنگام حذف کف دوباره حساب نکنید.
یک تغییر کوچک برای کنترل یادگیری
حالا فقط مکعب بالاییِ ستون جلو و وسط را بردارید. پیش از شمارش دوباره، تغییر را پیش‌بینی کنید: ۵ وجه آزادِ آن مکعب حذف میشود و وجه بالای مکعب زیرش آزاد میشود؛ پس سطح ۴ وجه کم میشود. پاسخ تازه با کف ۲۰ و بدون کف ۱۵ است. تعداد خانه‌های تماس با زمین تغییر نکرده است.
جمع‌بندی و چک‌لیست شمارش وجههای آزاد
روش را با سه یادداشت کوتاه اجرا کنید: تعداد مکعبها، تعداد جفت‌های متصل و وضعیت کف. پس از محاسبه، یک بخش ساده سازه را جدا کنترل کنید؛ مثلاً ببینید افزودن یا برداشتن یک مکعب کدام وجهها را می‌پوشاند و کدام را آزاد میکند. اگر جواب نادرست شد، همین یادداشت‌ها نشان می‌دهند خطا از ندیدن قطعه، دوباره‌شمردن اتصال یا حذف اشتباه کف بوده است.
- می‌دانم پاسخ درباره مکعب، مربعِ روی سطح یا مساحت است.
- مکعبهای هماندازه و تماس کاملِ وجه‌به‌وجه را از تماس لبه‌ای جدا کرده‌ام.
- اتصال‌های چپ و راست، جلو و عقب و بالا و پایین را هرکدام فقط یک بار شمرده‌ام.
- ندیده‌شدن در تصویر را دلیل پوشیده‌بودن یک وجه نگرفته‌ام.
- اگر کف مستثناست، فقط وجههای واقعاً در تماس با زمین را کم کرده‌ام.
تمرین بعدی را بر اساس نوع خطا انتخاب کنید
اگر جای مکعبها روشن نیست، تمرین بعدی را با جدول ارتفاع شروع کنید. اگر سازه را درست می‌خوانید ولی جواب فرق میکند، پیش از تکرار محاسبه، فهرست اتصال‌ها را بررسی کنید. والدین می‌توانند از دانش‌آموز بخواهند یک اتصال را نشان دهد و توضیح دهد چرا دو وجه را می‌پوشاند. هدف، استدلال قابل بررسی در آمادگی آزمون تیزهوشان است؛ سرعت حل یا تعداد تمرین، نتیجه مشخصی را تضمین نمی‌کند.
درخواست مشاوره برای انتخاب تمرین متناسب در مسیر آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
چرا برای هر اتصال دو وجه کم میشود، نه یک وجه؟
چون مجموع اولیه، وجههای هر دو مکعب را جدا شمرده است. در هر تماس کامل، یک وجه از مکعب اول و یک وجه از مکعب دوم پوشیده میشود؛ بنابراین هر جفت تماس را یک بار ثبت میکنیم و بابت آن دو وجه کم میکنیم.
وجههای پشت سازه را که در تصویر دیده نمیشوند هم حساب کنیم؟
اگر سؤال کل سطح را میخواهد، بله؛ مگر آن وجه به مکعب دیگری چسبیده باشد. دیدهنشدن از یک زاویه با پوشیدهشدن بر اثر اتصال فرق دارد. جدول ارتفاع یا نقشه لایهها به تشخیص این تفاوت کمک میکند.
برای حذف کف باید تعداد کل مکعبها را کم کنیم؟
خیر. فقط یک وجه بهازای هر مکعبی که واقعاً روی زمین است کم میشود. مکعبهای طبقه بالاتر با زمین تماس ندارند. تماس با میز هم باعث کمشدن دو وجه نمیشود، چون وجه میز در مجموع اولیه حساب نشده است.
آیا تعداد وجههای آزاد همان مساحت سطح است؟
تعداد وجهها، شمار مربعهای کوچک روی سطح است. برای مساحت، آن را در مساحت یک وجه ضرب کنید و واحد مربع بنویسید. این تبدیل وقتی مستقیم است که همه مکعبها هماندازه باشند و وجههای شمردهشده کامل باشند.