برای تشخیص نماهای بالا، روبهرو و کنار در تیزهوشان، ابتدا جهت نگاه را ثابت کنید و جای ستونهای مکعبی و ارتفاع آن‌ها را جدا بنویسید. در سازه‌ای با ستونهای توپر، نمای بالا جای ستونها را نشان میدهد؛ نمای روبهرو یا کنار از بیشترین ارتفاع در هر راستای نگاه به دست می‌آید. جمع ارتفاع ستونها، تعداد کل مکعبهاست و با تعداد خانههای یک نما فرق دارد. در این راهنمای هوش فضایی برای ششم و نهم، این تفاوت‌ها را با نمونه‌های تألیفی تمرین می‌کنیم؛ نمونه‌ها سؤال رسمی آزمون نیستند.
پیش از رسم نما، جهت و مدل سازه را مشخص کنید
در این تمرین‌ها مکعبها هم‌اندازه‌اند و روی خانههای یک شبکه قرار دارند. هر ستون از کف تا بالاترین مکعب پر است؛ مکعب معلق، فضای خالی زیر قطعهها یا بیرون‌زدگی نداریم. پس اگر ارتفاع یک ستون ۳ باشد، آن ستون دقیقاً ۳ مکعب دارد. این فرض را نباید بدون دلیل به هر تصویر دیگری تعمیم داد.
منظور از نما، تصویر تخت سازه از یک جهت ثابت است؛ در آن فقط خانههای اشغالشده را بررسی می‌کنیم، نه رنگ وجه‌ها و جزئیات خطوط داخلی. نگاه در نمای روبهرو افقی و مستقیم است و نگاه در نمای بالا عمود بر زمین؛ نمای بالا را با تصویر موربی که چند وجه را هم‌زمان نشان میدهد اشتباه نگیرید. معرفی نمایش‌های مختلف جسم در راهنمای آموزشی NRICH دانشگاه کمبریج نیز این تفاوت میان نماها و نمایش سه‌بعدی را توضیح میدهد.
لبه نزدیک خودتان را «جلو» و لبه دور را «پشت» بنامید. چپ و راست را نسبت به کسی تعیین کنید که روبه‌روی سازه ایستاده است. برای نگاه از کنار، در این مقاله همیشه به سمت راست سازه می‌رویم؛ جای جلو و پشت سازه ثابت می‌ماند.
راهنمای نمایش جسم سه‌بعدی در پروژه آموزشی NRICH دانشگاه کمبریج
اگر جای ناظر و جهت سازه را جابه‌جا می‌گیرید، تمرین جهت‌یابی را ببینید.
مثال تألیفی: جدول ارتفاع ستونها را بکشید
روی کاغذ یک جدول با ۲ ردیف و ۳ ستون بکشید. ردیف پایین کاغذ را «جلو» و ردیف بالای آن را «پشت» بنویسید. ستونها را از سمت چپ کاغذ «چپ»، «وسط» و «راست» نام‌گذاری کنید. ارتفاع هر خانه را با مشخصات زیر وارد کنید؛ عدد صفر یعنی آن خانه خالی است.
- ردیف جلو: خانه چپ ۱، خانه وسط ۳ و خانه راست ۰.
- ردیف پشت: خانه چپ ۲، خانه وسط ۱ و خانه راست ۲.
جدول ارتفاع با نمای بالا چه فرقی دارد؟
جدول، علاوه بر جای ستونها، ارتفاعشان را هم به ما میدهد. نمای بالای ساده چنین عددی ندارد؛ فقط نشان میدهد زیر هر خانه ستونی هست یا نیست. در این مثال ۵ خانه جدول غیرصفر است، ولی برای شمارش کل مکعبها باید همه ارتفاعها را جمع کنیم: ردیف جلو ۴ مکعب و ردیف پشت ۵ مکعب دارد؛ مجموع آن‌ها ۹ است.
از همین جدول، هر سه نما را به دست آورید
برای هر نما یک طرح جدا بکشید و نام جهت را بالای آن بنویسید. سازه تغییر نمیکند؛ فقط اطلاعاتی که از هر جهت دیده می‌شود متفاوت است.
نمای بالا: خانههای غیرخالی را رنگ کنید
یک جدول دیگر با همان ۲ ردیف و ۳ ستون رسم کنید. هر خانه‌ای را که در جدول ارتفاع عددی بیشتر از صفر دارد رنگ کنید. همه خانه‌ها به‌جز خانه جلو و راست پر می‌شوند؛ نمای بالا ۵ مربع دارد. ستون ۳ مکعبیِ وسط جلو هم از بالا فقط یک خانه را اشغال میکند، چون مکعب‌های آن روی هم قرار دارند.
نمای روبهرو: در هر ستون جدول، ارتفاع بزرگ‌تر را بردارید
در بخش چپِ نمای روبهرو، ستون جلویی با ارتفاع ۱ و ستون پشتی با ارتفاع ۲ پشت سر هم‌اند؛ نمای آن‌ها از کف تا ارتفاع ۲ پر است. در بخش وسط، ارتفاع‌های ۳ و ۱ نمایی به ارتفاع ۳ می‌سازند. در بخش راست، خانه جلویی خالی است اما ستون پشتی ارتفاع ۲ دارد؛ پس این قسمت نما خالی نیست.
روی یک خط افقی، در جای چپ ۲ مربع، در وسط ۳ مربع و در راست ۲ مربع روی هم بکشید. ارتفاعها را جمع نکردیم؛ ستونهای هم‌راستا در تصویر روی هم می‌افتند. برای نمونه، ۱ مکعب جلویی و ۲ مکعب پشتیِ سمت چپ، نمایی به ارتفاع ۲ می‌دهند، نه ۳.
نمای سمت راست: در هر ردیف جدول، بیشترین ارتفاع را پیدا کنید
این بار از سمت راست نگاه کنید. سه جای چپ، وسط و راستِ ردیف جلو در یک راستای نگاه قرار میگیرند. بیشترین ارتفاعشان ۳ است؛ پس بخش جلویی نمای کنار ارتفاع ۳ دارد. بیشترین ارتفاع ردیف پشت ۲ است؛ بخش عقبی این نما ارتفاع ۲ دارد.
برای رسم بدون ابهام، دو جای کنار هم را روی کاغذ «جلو» و «پشت» بنامید و بالای اولی ۳ مربع و بالای دومی ۲ مربع بکشید. در سؤال تصویری، جای این دو بخش را با پیکان جهت نگاه و برچسب‌های همان سؤال هماهنگ کنید؛ ترتیب ظاهری اعداد را بدون بررسی جهت حفظ نکنید.
آیا سه نما همیشه تعداد مکعبها را مشخص می‌کنند؟
خیر؛ حتی با فرض ستونهای توپر، ممکن است سازههای متفاوت نماهای یکسان داشته باشند. برای دیدن دلیل، یک جدول با ۲ ردیف و ۲ ستون بکشید. در سازه اول، ارتفاع جلو و چپ ۲، جلو و راست ۱، پشت و چپ ۱ و پشت و راست ۲ است. این سازه ۶ مکعب دارد.
حالا فقط ارتفاع جلو و راست را از ۱ به ۲ برسانید؛ سازه دوم ۷ مکعب دارد. در هر دو سازه، هر ۴ خانه نمای بالا پر است. بیشترین ارتفاع هر ستون جدول ۲ است، پس نمای روبهرو تغییر نمیکند. بیشترین ارتفاع هر ردیف هم ۲ است، پس نمای سمت راست نیز همان می‌ماند. منظور همین نماهای ساده با خانههای پر و خالی است، بدون اطلاعات اضافی مانند رنگ یا خط پنهان.
این مثال نشان میدهد چرا نباید تعداد مربع‌های نماها را جمع کرد و آن را تعداد مکعبها دانست. یک مکعب ممکن است در چند نما دیده شود و مکعبی دیگر پشت قطعهها پنهان بماند. اگر سؤال تعداد دقیق را می‌خواهد، باید داده کافی برای یکتا شدن آن وجود داشته باشد؛ اگر کمترین یا بیشترین تعداد را می‌خواهد، باید سازههای مجاز را با همان خواسته بررسی کنید.
برای تشخیص تفاوت «یک پاسخ ممکن» و «پاسخ یکتا»، راهنمای کفایت داده را تمرین کنید.
تمرین مستقل: پیش از دیدن پاسخ، نماها را رسم کنید
جدولی تازه با ۲ ردیف و ۳ ستون و همان جهت‌های مثال قبل بکشید. ارتفاع ردیف جلو در خانه چپ ۰، وسط ۲ و راست ۱ است. ارتفاع ردیف پشت در خانه چپ ۳، وسط ۱ و راست ۲ است. همه ستونها از کف توپرند. نمای بالا، روبهرو و سمت راست را رسم کنید و سپس تعداد کل مکعبها را بنویسید.
کنار هر بخش از نمای روبهرو و کنار، بنویسید ارتفاع انتخابی از کدام خانه جدول آمده است. این توضیح کوتاه مشخص میکند پاسخ از دنبال کردن راستای نگاه به دست آمده یا از حدس ظاهر.
پاسخ و کنترل تمرین
نمای بالا ۵ خانه پر دارد؛ تنها خانه جلو و چپ خالی است. در نمای روبهرو، ارتفاع بخش چپ ۳، وسط ۲ و راست ۲ است: هر بار بزرگ‌ترین عدد میان خانه جلویی و پشتی همان ستون را انتخاب می‌کنیم.
در نمای سمت راست، بخش جلو ارتفاع ۲ و بخش پشت ارتفاع ۳ دارد. تعداد کل مکعبها از جمع ارتفاع‌های جدول به دست می‌آید: ردیف جلو ۳ و ردیف پشت ۶ مکعب دارد؛ در مجموع ۹ مکعب. اگر برای بخش چپ نمای روبهرو ارتفاع صفر نوشته‌اید، ستون پشتی را از نگاه خود حذف کرده‌اید.
چک‌لیست تشخیص خطا در سؤال‌های نما
اگر رسم شما با پاسخ متفاوت شد، اول جدول و جهت‌ها را بررسی کنید و بعد سراغ محاسبه بروید. تغییر یک خانه از مثال و پیش‌بینی اثر آن بر نماها، تمرین هدفمندتری از دوباره خواندن جواب است.
- خواسته را مشخص کرده‌ام: شکل نما، تعداد خانههای نما یا تعداد کل مکعبها؟
- جلو، پشت و سمت مشاهده را پیش از رسم نام‌گذاری کرده‌ام.
- توپر بودن ستونها را از داده یا فرض مسئله می‌دانم، نه از حدس تصویر.
- برای نمای بالا، خانه غیرصفر را شمرده‌ام؛ برای تعداد کل، ارتفاعها را جمع کرده‌ام.
- برای نمای روبهرو و کنار، بیشترین ارتفاع در راستای نگاه را گرفته‌ام.
- پیش از اعلام تعداد دقیق از روی نماها، امکان ساختن سازه دیگری را بررسی کرده‌ام.
برای مسیر تمرین از مدل‌سازی تا تجسم ذهنی، راهنمای هوش تصویری و فضایی تیزهوشان را بخوانید.
جمع‌بندی: جای ستون، ارتفاع نما و تعداد کل را جدا نگه دارید
در یک سازه ستونیِ توپر، جدول ارتفاع اطلاعات بیشتری از نمای بالا دارد. از خانههای غیرصفر، نمای بالا را بسازید؛ از بیشترین ارتفاع در هر راستای نگاه، نمای روبهرو یا کنار را رسم کنید؛ و فقط برای تعداد کل مکعبها ارتفاع‌های همه خانه‌ها را جمع بزنید. داشتن چند نما هم لزوماً تعداد کل را یکتا نمیکند.
برای تمرین بعدی، یکی از جدول‌ها را دوباره بکشید، ارتفاع یک خانه را تغییر دهید و پیش از رسم، بگویید کدام نما عوض می‌شود. دانش‌آموز ششم یا نهم می‌تواند در مرحله یادگیری از مکعب‌های هم‌اندازه برای کنترل پیش‌بینی کمک بگیرد؛ والدین هم کافی است دلیل انتخاب ارتفاع را بپرسند. سرعت را پس از روشن شدن روش وارد تمرین کنید. این آموزش برای تقویت مهارت فضایی است و نتیجه آزمون را تضمین نمیکند.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان از مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
چرا در نمای روبهرو ارتفاع ستونها را جمع نمیکنیم؟
ستونهای پشت سر هم در یک راستای نگاه قرار میگیرند و تصویرشان روی هم میافتد. در مدل ستونهای توپر، بلندترین ستون مرز بالای آن بخش نما را تعیین میکند؛ جمع ارتفاعها برای شمارش مکعبهاست.
آیا نمای بالا ارتفاع ستونهای مکعبی را نشان میدهد؟
نمای بالای ساده فقط جای خانههای اشغالشده را نشان میدهد. برای دانستن ارتفاع، به عددهای جدول ارتفاع یا داده دیگری نیاز داریم؛ هر ستون، مستقل از ارتفاعش، در این نما یک خانه دارد.
آیا از روی نمای بالا، روبهرو و کنار میتوان تعداد دقیق مکعبها را فهمید؟
همیشه نه. ممکن است افزایش ارتفاع یک ستون کوتاهتر، بیشترین ارتفاع هیچ راستایی را عوض نکند. در مثال همین مقاله، سازههای ۶ و ۷ مکعبی سه نمای ساده یکسان دارند.
اگر سازه فضای خالی یا مکعب بیرونزده داشته باشد، همین روش کافی است؟
خیر. جدول این مقاله ستونهای پیوسته از کف را فرض میکند. با وجود فضای خالی، ارتفاع بهتنهایی تعداد یا جای مکعبها را مشخص نمیکند؛ باید محل قطعهها در هر لایه و دادههای خود سؤال را جدا بررسی کرد.