برای حل سؤال مکعبهای رنگشده در تیزهوشان، جای هر مکعب کوچک را در حجم اصلی مشخص کنید: گوشه، روی لبه، در بخش میانی یک وجه یا درون حجم. وقتی همه سطح بیرونی مکعب پیش از برش رنگ شده باشد، همین جایگاه تعداد وجههای رنگی هر قطعه را تعیین میکند. سپس گروه‌ها را جدا می‌شماریم و مجموعشان را با تعداد کل قطعهها کنترل می‌کنیم. این راهنما برای تمرین هوش فضایی دانش‌آموزان ششم و نهم است؛ مثال‌ها و تمرین‌های آن تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
اول مشخص کنید چه چیزی رنگ و چگونه تقسیم شده است
در مثال اصلی، یک مکعب توپر داریم. هر ۶ وجه بیرونی آن را رنگ می‌کنیم و بعد با برش‌های موازی وجهها، آن را به مکعبهای کوچک هم‌اندازه تقسیم می‌کنیم. رنگ فقط روی سطح بیرونی اولیه است؛ سطح‌های تازه‌ای که بر اثر برش ایجاد میشوند، رنگ ندارند. اگر قطعهها را ابتدا جدا و سپس رنگ کنیم، مسئله دیگری خواهیم داشت.
وجه همان سطح مربعی مکعب است؛ لبه یا یال، خط برخورد دو وجه و رأس، گوشه برخورد سه وجه است. سؤال ممکن است تعداد قطعهها را بخواهد یا تعداد سطح‌های رنگی آن‌ها را؛ پیش از حساب‌کردن، واحد پاسخ را روشن کنید. تعداد رنگ‌های متفاوت هم با تعداد وجههای رنگی یکی نیست: یک قطعه می‌تواند سه وجه رنگشده با یک رنگ یکسان داشته باشد.
برای شناخت همسایگی وجهها و گوشه مشترک آن‌ها، آموزش گسترده مکعب را ببینید.
مکعبهای کوچک را بر اساس جایگاه دسته‌بندی کنید
در مکعبی که همه وجههای بیرونی آن رنگ شده و در امتداد هر ضلع دستکم ۲ مکعب کوچک دارد، هر قطعه در یکی از گروه‌های زیر قرار می‌گیرد. منظور از «میانه لبه»، همه قطعههای روی لبه به‌جز دو سر آن است؛ منظور فقط نقطه وسط لبه نیست.
- گوشهها: هر قطعه با سه وجه بیرونی تماس دارد و دقیقاً ۳ وجه رنگی دارد.
- لبه‌ها بدون گوشهها: هر قطعه با دو وجه بیرونی تماس دارد و دقیقاً ۲ وجه رنگی دارد.
- بخش میانی وجهها بدون حاشیه: هر قطعه فقط روی یک وجه بیرونی قرار دارد و دقیقاً ۱ وجه رنگی دارد.
- بخش داخلی: قطعه با هیچ وجه بیرونی تماس ندارد و هیچ وجهش رنگ نشده است.
چرا گوشهها را از شمارش لبه‌ها کنار می‌گذاریم؟
یک قطعه گوشهای روی چند لبه قرار دارد. اگر هر لبه را با دو سرش بشماریم، همان قطعه دوباره وارد پاسخ میشود. دسته‌بندی بر اساس تعداد دقیق وجههای رنگی، به هر قطعه فقط یک جای مشخص می‌دهد. همچنین بخش میانی یک وجه باید بدون همه حاشیه‌های آن شمرده شود، چون قطعههای حاشیه قبلاً در گروه لبه یا گوشه آمده‌اند.
دلیل کامل بودن گروه‌ها و جلوگیری از تکرار را در راهنمای شمارش حالت‌های ممکن تمرین کنید.
مثال حل‌شده: در امتداد هر ضلع ۴ مکعب کوچک داریم
مکعب رنگشده را طوری تقسیم کرده‌ایم که طول، عرض و ارتفاع آن هرکدام شامل ۴ مکعب کوچک باشد. در هر لایه ۴ × ۴ = ۱۶ قطعه و در کل ۴ لایه داریم؛ پس تعداد قطعهها ۶۴ است. می‌خواهیم بدانیم چند قطعه دقیقاً ۳، ۲، ۱ یا هیچ وجه رنگی دارند.
سه وجه رنگی: فقط قطعههای گوشهای
مکعب بزرگ ۴ گوشه در بالا و ۴ گوشه در پایین دارد. در هر گوشه یک قطعه کوچک قرار گرفته است؛ پس ۸ قطعه دقیقاً ۳ وجه رنگی دارند. قطعه‌ای که از گوشه دور شده باشد، دیگر با هر سه وجه بیرونی آن گوشه تماس ندارد.
دو وجه رنگی: لبه‌ها را بدون دو سرشان بشمارید
روی هر لبه ۴ قطعه قرار دارد. با کنار گذاشتن قطعههای دو سر، ۲ قطعه باقی می‌ماند. مکعب ۴ لبه دور وجه بالا، ۴ لبه دور وجه پایین و ۴ لبه رابط میان بالا و پایین دارد؛ یعنی ۱۲ لبه. بنابراین ۱۲ × ۲ = ۲۴ قطعه دقیقاً ۲ وجه رنگی دارند.
یک وجه رنگی: حاشیه هر وجه را کنار بگذارید
هر وجه بزرگ یک شبکه ۴ در ۴ است. اگر ردیف اول و آخر و ستون اول و آخر را کنار بگذاریم، بخش میانی ۲ در ۲ باقی می‌ماند؛ یعنی ۴ قطعه روی هر وجه. با در نظر گرفتن هر ۶ وجه، ۲۴ قطعه دقیقاً ۱ وجه رنگی دارند. این قطعهها روی لبه نیستند و میان دو وجه مشترک نمی‌شوند.
بدون وجه رنگی: هسته داخلی را پیدا کنید
در هر راستا، لایه ابتدا و انتها رنگ دارند. با کنار گذاشتن آن‌ها، طول، عرض و ارتفاع بخش داخلی هرکدام ۲ قطعه است. پس ۲ × ۲ × ۲ = ۸ قطعه هیچ وجه رنگی ندارند. اکنون گروه‌ها را جمع کنید: ۸ قطعه سهوجهی، ۲۴ قطعه دووجهی، ۲۴ قطعه یکوجهی و ۸ قطعه بیرنگ، در مجموع همان ۶۴ قطعه‌اند.
اگر تجسم حجم سخت است، نقشه لایه‌ها را بکشید
برای همین مثال، روی کاغذ ۴ جدول جداگانه ۴ در ۴ بکشید و آن‌ها را از بالا به پایین نام‌گذاری کنید. هر خانه جای یک مکعب کوچک است. عددی که در خانه می‌نویسید، تعداد وجههای رنگی آن قطعه است، نه شماره قطعه. ابتدا خودتان جدول‌ها را پر کنید و بعد با نقشه زیر بسنجید.
- لایه بالایی: ردیف اول و آخر هرکدام «۳، ۲، ۲، ۳»؛ دو ردیف میانی هرکدام «۲، ۱، ۱، ۲» هستند.
- لایه پایینی: تعداد وجههای رنگی خانه‌ها با لایه بالایی یکسان است.
- هرکدام از دو لایه میانی: ردیف اول و آخر «۲، ۱، ۱، ۲»؛ دو ردیف میانی «۱، ۰، ۰، ۱» هستند.
یک خانه را با دلیل توضیح دهید
گوشه جدولِ لایه میانی عدد ۲ دارد، چون قطعه با دو دیواره بیرونی تماس دارد ولی روی بالا یا پایین مکعب نیست. خانه میانی همان جدول عدد ۰ دارد، چون از همه سطح‌های بیرونی فاصله گرفته است. اگر فقط به تصویر روبه‌رو نگاه کنیم، چنین قطعه‌هایی دیده نمی‌شوند؛ نقشه لایه‌ها اجازه می‌دهد آن‌ها را هم در شمارش بیاوریم.
برای گذر از رسم و مدل‌سازی به تجسم ذهنی، راهنمای تمرین هوش تصویری و فضایی را دنبال کنید.
«دقیقاً یک وجه» با «دستکم یک وجه» فرق دارد
در مثال ۶۴ قطعه‌ای، فقط ۲۴ قطعه دقیقاً یک وجه رنگی دارند. اما دستکم یک وجه رنگی شامل گروه‌های یکوجهی، دووجهی و سهوجهی است؛ پس پاسخ ۵۶ قطعه میشود. همین پاسخ را می‌توان با کنار گذاشتن ۸ قطعه بیرنگ از کل ۶۴ قطعه کنترل کرد.
اگر خواسته «دقیقاً دو وجه رنگی» باشد، قطعههای گوشهای وارد پاسخ نمی‌شوند؛ ولی برای «دستکم دو وجه رنگی»، آن‌ها هم حساب میشوند و پاسخ ۳۲ قطعه است. هنگام خواندن سؤال، این قید را پیش از انتخاب عملیات مشخص کنید.
تعداد قطعه رنگی با تعداد سطح رنگی برابر نیست
اگر تعداد همه وجههای کوچکِ رنگشده را بخواهند، هر قطعه سهوجهی باید ۳ بار، هر قطعه دووجهی ۲ بار و هر قطعه یکوجهی یک بار سهم بدهد. در مثال ما، سهم این گروه‌ها به‌ترتیب ۲۴، ۴۸ و ۲۴ سطح است؛ در مجموع ۹۶ سطح رنگی. راه کنترل دیگر، شمردن ۱۶ مربع کوچک روی هرکدام از ۶ وجه بزرگ است. پاسخ ۹۶ درباره سطح‌هاست و با پاسخ ۵۶ درباره قطعههای دارای رنگ تناقضی ندارد.
اگر فقط دو وجه رنگ شده باشند، دسته‌بندی را دوباره بسازید
حال یک مکعب تازه با همان تقسیم‌بندی ۴ در ۴ در ۴ در نظر بگیرید. این بار فقط وجه بالا و وجه روبه‌رو را پیش از برش رنگ می‌کنیم و سایر وجهها بی‌رنگ‌اند. این دو وجه یک لبه مشترک دارند. هر ۴ قطعه روی این لبه، از جمله دو سر آن، دقیقاً ۲ وجه رنگی دارند. هیچ قطعه‌ای ۳ وجه رنگی ندارد.
روی وجه بالا، از ۱۶ قطعه، ۴ قطعه همان لبه مشترک‌اند؛ ۱۲ قطعه باقی‌مانده فقط یک وجه رنگی دارند. روی وجه روبه‌رو نیز ۱۲ قطعه دیگر فقط یک وجه رنگی دارند. بنابراین ۲۴ قطعه یکوجهی، ۴ قطعه دووجهی و ۳۶ قطعه بیرنگ داریم که مجموعشان ۶۴ است.
چرا این بار دو سر لبه را حذف نکردیم؟
قطعههای دو سر هنوز از نظر هندسی در گوشهاند، اما سومین وجه بیرونی کنار آن‌ها رنگ نشده است. پس فقط دو وجه رنگی دارند و باید در پاسخ بمانند. رابطه «گوشه یعنی سه وجه رنگی» به شرط رنگشدن همه وجههای بیرونی وابسته بود؛ نام جایگاه به‌تنهایی کافی نیست.
تمرین مستقل: مکعبی با ۵ قطعه در امتداد هر ضلع
یک مکعب توپر را از هر ۶ وجه بیرونی رنگ می‌کنیم و سپس به مکعبهای کوچک هم‌اندازه تقسیم می‌کنیم، به‌طوری‌که در امتداد هر ضلع ۵ قطعه باشد. تعداد قطعههای دارای دقیقاً ۳، ۲، ۱ و هیچ وجه رنگی را پیدا کنید. پیش از دیدن پاسخ، توضیح دهید بعد از حذف دو سر هر لبه چند قطعه می‌ماند و بخش میانی هر وجه چه ابعادی دارد.
پاسخ و کنترل مجموع
در گوشهها همچنان ۸ قطعه سهوجهی داریم. در میانه هر لبه ۳ قطعه باقی می‌ماند؛ پس ۱۲ × ۳ = ۳۶ قطعه دووجهی داریم. بخش میانی هر وجه ۳ در ۳ است؛ بنابراین در ۶ وجه، ۵۴ قطعه یکوجهی قرار دارد. هسته داخلی نیز ۳ در ۳ در ۳ است و ۲۷ قطعه بیرنگ دارد. مجموع ۸، ۳۶، ۵۴ و ۲۷ برابر ۱۲۵ است؛ همان تعداد کل قطعهها در حجم ۵ در ۵ در ۵.
یک حالت کوچک برای کنترل روش
اگر هر ضلع فقط ۲ قطعه داشته باشد و باز هم همه سطح بیرونی پیش از برش رنگ شده باشد، کل حجم ۸ قطعه دارد و همه آن‌ها گوشهای و سه‌وجهی‌اند؛ میانه لبه، میانه وجه و هسته داخلی خالی میمانند. اگر مکعب اصلاً تقسیم نشود، یک قطعه با ۶ وجه رنگی داریم؛ این حالت را نباید زیر دسته‌بندی مخصوص مکعب تقسیم‌شده قرار داد.
چک‌لیست حل مکعبهای رنگشده و جمع‌بندی
روش حل را با این پرسش کنترل کنید: «این قطعه با چند وجه رنگشده از مکعب اولیه تماس دارد؟» پاسخ برای گوشه، لبه، بخش میانی وجه و هسته داخلی متفاوت است. پس از دسته‌بندی، مجموع قطعهها را کنترل کنید؛ اگر فقط بعضی وجهها رنگ شده‌اند، تماس‌های رنگی را از نو بشمارید.
- ترتیب رنگ‌کردن و برش، توپر بودن حجم و یکسان بودن قطعهها را از صورت سؤال مشخص کرده‌ام.
- می‌دانم همه وجهها رنگ شده‌اند یا فقط بعضی از آن‌ها.
- خواسته درباره تعداد مکعب‌هاست یا تعداد سطح‌های رنگی، و قید دقیقاً یا دستکم را نگه داشته‌ام.
- گروه‌ها را طوری تعریف کرده‌ام که قطعه‌ای جا نماند یا دوباره شمرده نشود.
- برای قطعههای پنهان از نقشه لایه‌ها کمک گرفته‌ام و مجموع گروه‌ها را با کل حجم سنجیده‌ام.
تمرین بعدی را از محل خطا انتخاب کنید
اگر قطعههای پنهان جا میمانند، یک نقشه لایه‌ای دیگر بکشید. اگر گوشهها دوباره شمرده میشوند، مرز هر گروه را پیش از محاسبه بنویسید. والدین می‌توانند از دانش‌آموز بخواهند جای یک قطعه و علت تعداد وجههای رنگی آن را توضیح دهد؛ گفتن عدد نهایی به‌تنهایی نشان نمی‌دهد روش روشن شده است. برای هر دو پایه ششم و نهم، پیچیدگی تمرین را با همین توان توضیح تنظیم کنید.
اگر در انتخاب سطح تمرین و جای‌دادن آن در برنامه آمادگی نیاز به راهنمایی دارید، مسیر مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) در دسترس است.
پرسش‌های پرتکرار
چرا در سؤال مکعب رنگشده، بعضی مکعبهای کوچک بیرنگ میمانند؟
وقتی سطح بیرونی حجم پیش از برش رنگ میشود، رنگ به قطعههای کاملاً داخلی نمیرسد. سطحهایی هم که با برش تازه ایجاد میشوند، رنگ ندارند. البته در تقسیم ۲ در ۲ در ۲ هسته داخلی نداریم و همه قطعهها روی گوشهاند.
آیا همیشه ۸ مکعب کوچک با سه وجه رنگی داریم؟
این نتیجه برای مکعب توپر با همه وجههای بیرونی رنگشده است که در امتداد هر ضلع به دستکم ۲ قطعه مساوی تقسیم شده باشد. با رنگشدن فقط بعضی وجهها، تعداد وجههای رنگی گوشهها تغییر میکند. مکعب تقسیمنشده نیز یک قطعه با ۶ وجه رنگی است.
برای شمردن مکعبهایی که دستکم یک وجه رنگی دارند چه کنیم؟
میتوانید تعداد قطعههای یکوجهی، دووجهی و سهوجهی را جمع کنید یا تعداد قطعههای کاملاً بیرنگ را از کل قطعهها کم کنید. در مثال ۴ در ۴ در ۴ با همه وجههای بیرونی رنگشده، از ۶۴ قطعه، ۸ قطعه بیرنگ و ۵۶ قطعه دارای دستکم یک وجه رنگیاند.
اگر فقط دو وجه مجاور رنگ شده باشند، قطعههای دو سر لبه مشترک را بشماریم؟
بله، اگر خواسته تعداد قطعههای دارای دقیقاً دو وجه رنگی باشد. همه قطعههای روی لبه مشترک، از جمله دو سر آن، با همان دو وجه رنگشده تماس دارند؛ وجه سوم کنار قطعههای گوشهای رنگ نشده است.