برای حل مسائل کار و زمان در تیزهوشان، ابتدا حساب کنید هر دستگاه در یک واحد زمان چه کسری از کل کار را انجام می‌دهد. هنگام همکاری، این سهمها را جمع کنید؛ سپس مقدار کار باقیمانده را بر نرخ مشترک تقسیم کنید. جمع یا میانگین زمانهای تکمیل، زمان همکاری را نمی‌دهد. در این راهنمای ششم و نهم، یک کار مشترک را در چند وضعیت دنبال می‌کنیم تا معنای هر محاسبه روشن بماند. همه مثال‌ها فرضی و تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
پیش از محاسبه، معلوم کنید «یک کار کامل» چیست
فرض کنید دو دستگاه خیالی قرار است یک سطح یکنواخت را تمیز کنند. دستگاه «الف» به‌تنهایی تمام این سطح را در ۹ دقیقه و دستگاه «ب» همان سطح را به‌تنهایی در ۱۸ دقیقه تمیز میکند. یک کار کامل، تمیزشدن تمام همین سطح است؛ قرار نیست هر دستگاه یک سطح جداگانه را تمام کند.
در مدل این صفحه، سرعت کار هر دستگاه ثابت است، سطح را میتوان آزادانه بین آن‌ها تقسیم کرد، بخش تمیزشده دوباره تمیز نمی‌شود و دو دستگاه مانع کار یکدیگر نیستند. زمان راه‌اندازی و جابه‌جایی نیز در این مسئله فرضی نداریم. بدون چنین شرط‌هایی، از زمان کارِ انفرادی نمی‌توان زمان همکاری را به‌طور دقیق به دست آورد.
چرا کل کار را برابر ۱ می‌گیریم؟
عدد ۱ نامی برای تمام کار است، نه اندازه واقعی سطح. نصف آن، یک‌دوم همان سطح و یک‌سوم آن، یک‌سوم همان سطح است. لازم نیست مساحت را بدانیم، چون در همه مراحل سهمها را نسبت به یک کل ثابت می‌سنجیم. اگر دو زمان داده‌شده مربوط به کارهایی با اندازه متفاوت باشند، این تبدیل مستقیم معتبر نیست.
برای تشخیص سهم از کل و حفظ مقدار مرجع، راهنمای نسبت و تناسب در تیزهوشان را بخوانید.
زمان تکمیل را به سهم کار در هر دقیقه تبدیل کنید
الف در ۹ دقیقه تمام کار را انجام می‌دهد؛ پس در هر دقیقه یک‌نهم کار پیش می‌رود. ب در هر دقیقه یک‌هجدهم کار را انجام می‌دهد. به این مقدارِ کار در واحد زمان، «نرخ انجام کار» می‌گوییم. دستگاهی که زمان تکمیل کوتاه‌تری دارد، در هر دقیقه سهم بیشتری انجام می‌دهد.
حالا می‌توانیم سهمها را جمع کنیم: یک‌نهم برابر دو‌هجدهم است؛ با افزودن یک‌هجدهمِ دستگاه ب، سهم مشترک در هر دقیقه سه‌هجدهم، یعنی یک‌ششم کل کار میشود. بنابراین وقتی هر دو از آغاز هم‌زمان کار کنند، کار در ۶ دقیقه تمام میشود. در این مدت الف دوسوم و ب یک‌سوم کار را انجام داده‌اند؛ مجموع آن‌ها دقیقاً یک کار کامل است.
این مدلِ تبدیل زمان انفرادی به سهم انجام کار و جمع سهم‌های هم‌زمان، در آموزش مسائل کارِ OpenStax هم توضیح داده شده است. مثال‌های این صفحه برای تمرین همین رابطه طراحی شده‌اند.
توضیح رابطه نرخ و زمان در بخش مسائل کارِ کتاب آموزشی OpenStax
اگر کسرها مبهم‌اند، کار را به بخشهای مساوی بشکنید
همان سطح را روی کاغذ به ۱۸ بخش مساوی تقسیم کنید. الف که کل کار را در ۹ دقیقه تمام میکند، در هر دقیقه ۲ بخش را تمیز میکند. ب در هر دقیقه ۱ بخش را تمیز میکند. با همکاری آن‌ها، در هر دقیقه ۳ بخش از ۱۸ بخش انجام میشود؛ پس زمان تکمیل برابر ۱۸ تقسیم بر ۳، یعنی ۶ دقیقه است.
این تقسیم‌بندی فقط برای محاسبه است و لازم نیست سطح واقعاً به قطعه‌های جدا تقسیم شده باشد. انتخاب ۱۸ به این دلیل راحت است که بر هر دو زمان ۹ و ۱۸ بخش‌پذیر است. می‌توانستیم سطح را به ۳۶ بخش مساوی تقسیم کنیم: سهمها ۴ و ۲ بخش در دقیقه می‌شدند و زمان تکمیل باز هم ۶ دقیقه بود. تغییر واحدِ اندازه‌گیری کار، زمان واقعی مدل را تغییر نمی‌دهد.
- کل کار: ۱۸ بخش مساوی
- سهم الف در هر دقیقه: ۲ بخش
- سهم ب در هر دقیقه: ۱ بخش
- سهم مشترک در هر دقیقه: ۳ بخش
با شروع دیرتر، فقط کار باقیمانده را تقسیم کنید
حالا در همان مثال، الف ۳ دقیقه زودتر شروع میکند. بعد ب به آن می‌پیوندد و الف نیز تا پایان به کار ادامه می‌دهد. زمان پایان را از لحظه شروع الف می‌خواهیم. نرخ‌ها عوض نشده‌اند، اما بخشی از کار پیش از همکاری انجام شده است.
در ۳ دقیقه نخست، الف ۶ بخش از ۱۸ بخش را تمیز میکند؛ یعنی یک‌سوم کار انجام شده و ۱۲ بخش، معادل دوسوم کار، باقی مانده است. از لحظه پیوستن ب، هر دقیقه ۳ بخش انجام میشود. پس مدت همکاری ۴ دقیقه است و از آغاز کار الف تا پایان، ۷ دقیقه می‌گذرد.
دو پاسخ ۴ و ۷ به دو پرسش متفاوت مربوط‌اند: ۴ دقیقه مدت همکاری است و ۷ دقیقه کل زمان سپری‌شده. بالای جواب بنویسید زمان را از کدام لحظه حساب کرده‌اید. اگر دوباره تمام ۱۸ بخش را بر نرخ مشترک تقسیم کنید، کار انجامشده در مرحله نخست را نادیده گرفته‌اید.
اگر الف هنگام آمدن ب خاموش شود چه؟
این یک وضعیت متفاوت است. باز هم ۱۲ بخش باقی مانده، اما اکنون فقط ب با نرخ ۱ بخش در دقیقه کار میکند؛ بنابراین ۱۲ دقیقه دیگر لازم است و زمان کل ۱۵ دقیقه میشود. عبارت «ب شروع میکند» به‌تنهایی نمی‌گوید الف ادامه می‌دهد یا متوقف میشود؛ این شرط را از صورت سؤال بخوانید.
زمان یک دستگاه نامعلوم است؟ ابتدا نرخ آن را پیدا کنید
در یک مثال تازه، دو دستگاه فرضی با همان شرط‌های نرخ ثابت و کار مشترک، کاری را با هم در ۸ دقیقه تمام می‌کنند. دستگاه نخست به‌تنهایی همان کار را در ۱۲ دقیقه انجام می‌دهد. زمان دستگاه دوم به‌تنهایی چقدر است؟
کل کار را ۲۴ بخش مساوی بگیرید. دو دستگاه با هم در هر دقیقه ۳ بخش انجام می‌دهند و دستگاه نخست در هر دقیقه ۲ بخش. سهم دستگاه دوم، اختلاف این دو نرخ است: ۱ بخش در دقیقه. پس دستگاه دوم به‌تنهایی برای تمام ۲۴ بخش به ۲۴ دقیقه نیاز دارد.
تفاضل ۱۲ و ۸، پاسخ مسئله نیست؛ در اینجا باید سهمِ انجام کار را کم کرد. پس از یافتن سهم دستگاه دوم نیز هنوز یک مرحله باقی است: تبدیل نرخِ یک بخش در دقیقه به زمانِ تمام کار.
پاسخ را با معنای مسئله کنترل کنید
در مثال نخست، جمع ۹ و ۱۸ برابر ۲۷ دقیقه است و میانگین آن‌ها ۱۳٫۵ دقیقه؛ هیچ‌کدام زمان همکاری نیستند. با فرض‌های همین مثال، کمک دستگاه دوم باید زمان را از ۹ دقیقه، یعنی زمان دستگاه سریع‌تر، کمتر کند. پاسخ ۶ دقیقه از این کنترل عبور میکند، اما برای تأیید نهایی باید سهم‌های انجامشده هم جمعاً یک کار کامل شوند.
واحد زمان را کنار نرخ نگه دارید. «یک‌نهم کار در دقیقه» را نمی‌توان مستقیم با «یک‌هجدهم کار در ساعت» جمع کرد. همچنین سهم هر مرحله را فقط با مدت فعالیت دستگاه در همان مرحله حساب کنید؛ دستگاهی که هنوز شروع نکرده یا خاموش شده است، سهمی در آن بازه ندارد.
- زمانهای انفرادی مربوط به تمام یک کار یکسان‌اند.
- نرخ‌ها ثابت‌اند و همکاری، نرخ هر دستگاه را تغییر نمی‌دهد.
- واحد زمان همه نرخ‌ها یکسان است.
- کار مرحله‌های قبلی از کل کم شده است.
- مدت همکاری با زمان کل اشتباه نشده است.
- مجموع سهم‌های انجامشده در پایان برابر تمام کار است.
تمرین مستقل: یکی از دستگاه‌ها زودتر متوقف میشود
دو دستگاه فرضی «پ» و «ت» به‌ترتیب در ۱۲ و ۲۰ دقیقه، هرکدام به‌تنهایی یک کار یکسان را تمام می‌کنند. نرخ‌ها ثابت‌اند و کار را میتوان بدون تداخل بین آن‌ها تقسیم کرد. هر دو با هم شروع می‌کنند؛ پس از ۳ دقیقه، ت خاموش میشود و پ تا پایان ادامه می‌دهد. چند دقیقه از شروع تا پایان کار می‌گذرد؟
پیش از خواندن پاسخ، دو بازه بنویسید: «هر دو روشن» و «فقط پ روشن». برای هر بازه، مقدار کارِ باقیمانده و دستگاه فعال را مشخص کنید. می‌توانید کل کار را به ۶۰ بخش مساوی تقسیم کنید.
پاسخ: سهم دستگاه خاموش را ادامه ندهید
پ در هر دقیقه ۵ بخش و ت در هر دقیقه ۳ بخش انجام می‌دهد. در ۳ دقیقه همکاری، مجموعاً ۲۴ بخش تمام میشود و ۳۶ بخش می‌ماند. پ به‌تنهایی این مقدار را در ۷٫۲ دقیقه تمام میکند؛ پس زمان کل ۱۰٫۲ دقیقه است، یعنی ۱۰ دقیقه و ۱۲ ثانیه. دو‌دهم دقیقه برابر ۱۲ ثانیه است، نه ۲ ثانیه.
برای کنترل نهایی، پ در تمام ۱۰٫۲ دقیقه فعال بوده و ۵۱ بخش انجام داده است. ت فقط ۳ دقیقه کار کرده و ۹ بخش انجام داده است. جمع ۵۱ و ۹ برابر ۶۰ بخش، یعنی کل کار است. اگر نرخ مشترک را تا پایان نگه دارید، دستگاه خاموش را همچنان در محاسبه فعال فرض کرده‌اید.
جمع‌بندی: در هر بازه، سهم دستگاه فعال را حساب کنید
در مسائل کار و زمان، پرسش راهنما این است: «در این بازه، چه کسری از همین کار انجام میشود؟» از زمان انفرادی به نرخ برسید، سهم دستگاه‌های هم‌زمان را جمع کنید و با هر شروع یا توقف، یک بازه تازه بسازید. برای زمانِ باقیمانده فقط همان کار باقیمانده را تقسیم کنید و در پایان مجموع سهمها را کنترل کنید.
بعد از حل مستقل مثال‌ها، آن‌ها را کنار تمرین‌های نسبت و مسائل دیگر قرار دهید و بدون دیدن عنوان مبحث توضیح دهید چرا این سؤال به نرخ کار نیاز دارد. اگر تشخیص روش یا انتخاب سطح تمرین دشوار است، می‌توانید برای بررسی مسیر آمادگی از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
روش انتخاب راه‌حل بدون سرنخ فصل را در راهنمای تمرین ترکیبی تیزهوشان بخوانید.
پرسش‌های پرتکرار
چرا در مسائل کار و زمان، زمانهای دو دستگاه را جمع نمیکنیم؟
در همکاری، مقدار کاری که در یک واحد زمان انجام میشود جمع میشود، نه زمانهای تکمیل انفرادی. ابتدا زمان هر دستگاه را به سهم انجام کار در دقیقه یا ساعت تبدیل کنید؛ سپس نرخ مشترک را به دست آورید.
آیا برای حل مسئله کار مشترک باید اندازه واقعی کل کار را بدانیم؟
اگر زمانها مربوط به یک کار یکسان باشند، میتوان کل کار را ۱ گرفت و با کسرهای آن کار کرد. روش دیگر، تقسیم فرضی کل کار به بخشهای مساوی است. لازم است تعریف کل کار در همه مراحل ثابت بماند.
وقتی دستگاه دوم دیرتر شروع میکند، زمان را از کجا حساب کنیم؟
صورت سؤال تعیین میکند. ابتدا کار انجامشده پیش از همکاری را کم کنید و مدت انجام باقیمانده را بیابید. اگر زمان کل از آغاز دستگاه اول خواسته شده، مدت مرحله نخست را هم به مدت همکاری اضافه کنید.
آیا همیشه میتوان نرخ کار دو دستگاه را جمع کرد؟
فقط در مدلی که هر دو روی یک کار قابل تقسیم فعالیت کنند، سهمها دوباره شمرده نشوند و همکاری نرخ هرکدام را تغییر ندهد. اگر دستگاهی متوقف شود، فقط نرخ دستگاه فعال را برای آن بازه به کار ببرید.