برای انتخاب بین ب.م.م و ک.م.م در مسائل تیزهوشان، ابتدا ببینید عدد مجهول باید دادهها را بدون باقیمانده تقسیم کند یا خودش بر همه آن‌ها بخشپذیر باشد. در حالت نخست با شمارنده‌های مشترک سروکار دارید؛ در حالت دوم با مضرب‌های مشترک. سپس شرط‌هایی مثل بیشترین، کمترین و زمان شروع را اعمال کنید. این راهنما برای دانش‌آموزان ششم و نهم، انتخاب روش را با مسئله‌های کاملاً تألیفی تمرین می‌دهد؛ نمونه‌ها سؤال رسمی آزمون نیستند.
ب.م.م و ک.م.م چه تفاوتی دارند؟
شمارنده یا مقسوم‌علیهِ یک عدد، آن را بدون باقیمانده تقسیم می‌کند. در این تعریف‌ها، شمارنده‌ها و مضرب‌های مثبت را بررسی می‌کنیم. شمارنده‌های ۶ عبارت‌اند از ۱، ۲، ۳ و ۶؛ شمارنده‌های ۹ هم ۱، ۳ و ۹ هستند. عددهای ۱ و ۳ در هر دو فهرست‌اند و بزرگ‌ترینشان ۳ است؛ پس ب.م.مِ ۶ و ۹ برابر ۳ است. ب.م.م کوتاه‌شدهٔ «بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک» است.
مضرب‌های مثبت ۶ با گام‌های شش‌تایی ساخته می‌شوند: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴ و ادامه. برای ۹، این فهرست با ۹، ۱۸، ۲۷ و ۳۶ آغاز میشود. نخستین عدد مشترک ۱۸ است؛ پس ک.م.مِ ۶ و ۹ برابر ۱۸ است. ک.م.م یعنی «کوچکترین مضرب مشترک» و در اینجا منظور، کوچکترین مضرب مشترکِ مثبت است.
فرق عملی این است: در مسئله شمارنده، دادهها را بر عدد پیشنهادی تقسیم می‌کنید؛ در مسئله مضرب، عدد پیشنهادی را بر دادهها. پیش از حساب کردن، همین جهت تقسیم را در یک جمله بنویسید. تعریف‌های پایه را می‌توانید در واژه‌نامه رسمی آموزش اسکاتلند نیز بررسی کنید؛ مسئله‌ها و توضیح‌های کاربردی این صفحه مستقل نوشته شده‌اند.
منبع تعریف‌ها: واژه‌نامه شمارنده‌ها و مضرب‌ها از آموزش اسکاتلند، به زبان انگلیسی
مثال گروه‌بندی: بیشترین تعداد بسته یکسان
۲۸ مهره آبی و ۴۲ مهره نارنجی داریم. می‌خواهیم همه مهره‌ها را در بیشترین تعداد بسته غیرخالی بگذاریم؛ تعداد مهره‌های آبی در همه بسته‌ها یکسان باشد و تعداد مهره‌های نارنجی نیز در همه بسته‌ها یکسان باشد. هیچ مهره‌ای باقی نماند. چند بسته می‌سازیم و داخل هر بسته چه می‌گذاریم؟
ابتدا معنای مجهول را ثبت کنید: «تعداد بسته‌ها». این عدد باید هم ۲۸ را بدون باقیمانده تقسیم کند و هم ۴۲ را؛ چون هر رنگ جداگانه و به‌طور مساوی میان بسته‌ها پخش میشود. پس تعداد بسته‌ها باید شمارنده مشترک این دو عدد باشد. شرط «بیشترین تعداد» بزرگترین شمارنده مشترک را انتخاب می‌کند.
پاسخ را تا محتوای هر بسته ادامه دهید
شمارنده‌های ۲۸ عبارت‌اند از ۱، ۲، ۴، ۷، ۱۴ و ۲۸؛ شمارنده‌های ۴۲ هم ۱، ۲، ۳، ۶، ۷، ۱۴، ۲۱ و ۴۲ هستند. شمارنده‌های مشترک ۱، ۲، ۷ و ۱۴اند. بنابراین بیشترین تعداد بسته ۱۴ است. در هر بسته، ۲ مهره آبی و ۳ مهره نارنجی قرار می‌گیرد.
برای کنترل، ۱۴ بستهٔ دارای ۲ آبی، همان ۲۸ آبی را مصرف می‌کنند و ۱۴ بستهٔ دارای ۳ نارنجی، همان ۴۲ نارنجی را. پاسخ ۱۴ تعداد بسته‌هاست، نه تعداد مهره‌های داخل هر بسته؛ هر بسته در مجموع ۵ مهره دارد.
چرا تقسیم مجموع مهره‌ها کافی نیست؟
مجموع مهره‌ها ۷۰ است، اما هر شمارندهٔ ۷۰ لزوماً تعداد مجاز بسته‌ها نیست. مثلاً ۱۰ بسته از نظر مجموع، هرکدام ۷ مهره می‌گیرند؛ ولی نمی‌توان ۲۸ مهره آبی را به‌طور مساوی و بدون شکستن مهره میان ۱۰ بسته پخش کرد. یکسان بودن مجموع هر بسته، جای شرط یکسان بودن تعداد هر رنگ را نمی‌گیرد.
مثال تکرار همزمان: نخستین بار پس از شروع
در یک مدل فرضی، دو چراغ در لحظه شروع با هم چشمک میزنند. چراغ اول هر ۶ ثانیه و چراغ دوم هر ۹ ثانیه یک چشمکِ لحظه‌ای می‌زند. نخستین بار پس از شروع، چند ثانیه بعد با هم چشمک میزنند؟
این بار مجهول، زمان سپری‌شده از شروع است. این زمان باید شامل تعداد صحیحی دورهٔ ۶ ثانیه‌ای و تعداد صحیحی دورهٔ ۹ ثانیه‌ای باشد. یعنی زمان مجهول باید بر ۶ و ۹ بخشپذیر باشد؛ پس دنبال مضرب مشترک هستیم. «نخستین بار پس از شروع» کوچکترین مضرب مشترک مثبت را میخواهد: ۱۸ ثانیه.
زمان مشترک را با تعداد دفعات اشتباه نگیرید
چراغ اول در ثانیه‌های ۶، ۱۲ و ۱۸ و چراغ دوم در ثانیه‌های ۹ و ۱۸ چشمک میزنند. ثانیهٔ ۱۸ نخستین اشتراکِ پس از شروع است. اگر سؤال به‌جای زمان، تعداد چشمک‌های مشترک را از لحظه شروع تا پایان ثانیهٔ ۵۴، با احتساب دو سر بازه، بخواهد، زمان‌ها ۰، ۱۸، ۳۶ و ۵۴ هستند؛ یعنی ۴ بار. اگر لحظه شروع را نشماریم، پاسخ ۳ بار میشود.
برای چرخه روزهای هفته و تفاوت فاصله زمانی با شمارشِ شامل دو سر، آموزش سؤال‌های تقویم را ببینید.
اگر زمان شروع یکسان نباشد، چه تغییر می‌کند؟
حالا همان دوره‌ها را نگه دارید، اما چراغ اول نخستین بار در ثانیهٔ ۰ و سپس هر ۶ ثانیه چشمک بزند؛ چراغ دوم نخستین بار در ثانیهٔ ۳ و سپس هر ۹ ثانیه. ک.م.مِ دوره‌ها هنوز ۱۸ است، اما ۱۸ زمان نخستین چشمک مشترک نسبت به مبدأ این مسئله نیست.
برای این مثال کوچک، زمان‌های هر چراغ را از مبدأ مشترک فهرست کنید و نخستین اشتراک را بیابید. ابتدا زمان شروع و سپس فاصله تکرار را ثبت کنید؛ دوره بهتنهایی جای اولین رخداد را مشخص نمیکند.
- زمان‌های چراغ اول از مبدأ مسئله: ۰، ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰ و ادامه.
- زمان‌های چراغ دوم از همان مبدأ: ۳، ۱۲، ۲۱، ۳۰ و ادامه.
- نخستین اشتراک در ثانیهٔ ۱۲ است؛ اشتراک بعدی در ثانیهٔ ۳۰، یعنی ۱۸ ثانیه پس از آن رخ می‌دهد.
دام واژه‌ها: «کمترین برش» می‌تواند به ب.م.م نیاز داشته باشد
دو نوار به طول‌های ۲۰ و ۳۲ سانتی‌متر را به قطعه‌هایی با طول یکسان و عدد صحیحِ سانتی‌متر می‌بریم. هیچ بخشی دور ریخته نمی‌شود و طول همه قطعه‌ها، از هر دو نوار، برابر است. هر برش فقط یک قطعه را به دو قطعه تقسیم می‌کند؛ نوارها را تا نمی‌زنیم و روی هم نمی‌گذاریم. کمترین تعداد برش چند است؟
با دیدن «کمترین» سراغ ک.م.م نروید. برای کمتر شدن برش‌ها، باید قطعه‌های بلندتری داشته باشیم. طول هر قطعه باید هم ۲۰ و هم ۳۲ را بدون باقیمانده تقسیم کند. پس بزرگترین طول مجاز، ب.م.م این دو عدد، یعنی ۴ سانتی‌متر است. شمارنده‌های مشترکشان ۱، ۲ و ۴ هستند.
طول قطعه هنوز پاسخ نهایی نیست
نوار ۲۰ سانتی‌متری به ۵ قطعه تبدیل میشود و ۴ برش لازم دارد. نوار ۳۲ سانتی‌متری به ۸ قطعه تبدیل میشود و ۷ برش لازم دارد. در مجموع ۱۳ قطعه با ۱۱ برش ساخته میشود. در آغاز دو نوار جدا داریم و هر برش تعداد قطعه‌ها را یکی بیشتر می‌کند؛ پس تعداد برش‌ها دو تا کمتر از تعداد نهایی قطعه‌هاست.
عدد ۴ پاسخِ طول قطعه است، ۱۳ پاسخِ تعداد قطعه‌ها و ۱۱ پاسخِ تعداد برش‌ها. کنار هر عدد نامش را بنویسید تا یک محاسبه درست به پاسخِ خواسته‌ای دیگر تبدیل نشود.
تمرین مستقل: اول رابطه را بنویسید، بعد روش را انتخاب کنید
در دو تمرین زیر، قبل از محاسبه بنویسید کدام عدد باید بر کدام عدد بخشپذیر باشد. سپس پاسخ را با همه شرط‌ها کنترل کنید.
- تمرین ۱: از ۱۸ کارت سبز و ۳۰ کارت زرد، بیشترین تعداد بسته غیرخالی بسازید؛ تعداد هر رنگ در همه بسته‌ها یکسان باشد و کارتی باقی نماند. تعداد بسته‌ها و محتوای هر بسته را پیدا کنید.
- تمرین ۲: تعداد کارت‌های یک جعبه بیشتر از ۲۰ است. چه آن‌ها را در دسته‌های ۴تایی بگذاریم و چه در دسته‌های ۶تایی، کارتی باقی نمی‌ماند. کمترین تعداد ممکن کارت‌ها چقدر است؟
پاسخ تمرین ۱: شرط هر رنگ را جدا نگه دارید
تعداد بسته‌ها باید شمارندهٔ مشترک ۱۸ و ۳۰ باشد. شمارنده‌های مشترک ۱، ۲، ۳ و ۶ هستند؛ پس بیشترین تعداد، ۶ بسته است. در هر بسته ۳ کارت سبز و ۵ کارت زرد قرار می‌گیرد. اگر ۴۸ را بر تعداد بسته‌ها تقسیم کرده‌اید، دوباره کنترل کنید که هر رنگ نیز به‌طور مساوی پخش شود.
پاسخ تمرین ۲: ک.م.م را با شرط اضافه تطبیق دهید
تعداد کارت‌ها باید مضربی مشترک از ۴ و ۶ باشد. ک.م.م این دو عدد ۱۲ است، اما پاسخ ۱۲ شرط «بیشتر از ۲۰» را نقض می‌کند. مضرب‌های مشترک مثبت با ۱۲، ۲۴، ۳۶ و ادامه آغاز می‌شوند؛ نخستین موردِ بیشتر از ۲۰، عدد ۲۴ است. کنترل: ۲۴ کارت به ۶ دستهٔ ۴تایی یا ۴ دستهٔ ۶تایی تقسیم میشود و چیزی باقی نمی‌ماند.
پس از حل مستقل، با تمرین ترکیبی یاد بگیرید روش را بدون دیدن عنوان فصل انتخاب کنید.
جمع‌بندی و چک‌لیست انتخاب روش
تفاوت اصلی را در رابطهٔ تقسیم پیدا کنید: بسته‌ها باید هر موجودی را تقسیم کنند؛ زمان مشترک باید شامل دوره‌های کامل باشد. بعد از تشخیص این رابطه، شرط بیشینه یا کمینه را اعمال کنید و تا خواسته نهایی ادامه دهید. شمارنده یا مضرب مشترک ممکن است فقط یک گام میانی باشد؛ همان‌طور که در مثال برش و تمرینِ تعداد کارت دیدیم.
- مجهول را نامگذاری کرده‌ام: تعداد بسته، طول قطعه، زمان یا تعداد رخداد؟
- جهت تقسیم را از شرط مسئله نوشته‌ام، نه از روی واژه «بیشترین» یا «کمترین».
- در گروه‌بندی، شرط هر نوع وسیله را جدا کنترل کرده‌ام.
- در تکرار، زمان شروع، فاصله رخدادها و احتساب دو سر بازه روشن است.
- پاسخ نهایی شرط اضافه، واحد و معنای درست دارد.
برای تمرین بعدی چه چیزی را تغییر دهیم؟
یکی از مسئله‌ها را انتخاب کنید و فقط یک شرطش را عوض کنید؛ مثلاً در تمرین کارت‌ها، «بیشتر از ۲۰» را به «بیشتر از ۳۰» تغییر دهید. پیش از حساب، بگویید چرا مدل هنوز مضرب مشترک است، ولی جواب به ۳۶ تغییر می‌کند. والدین می‌توانند دلیل این تغییر را بپرسند، بدون آنکه نام روش را از ابتدا بگویند.
اگر محاسبه‌ها درست‌اند ولی انتخاب روش در نمونه تازه دشوار می‌ماند، همان صورت سؤال و جمله‌ای را که برای رابطه نوشته‌اید نگه دارید؛ این دو، محل ابهام را روشن‌تر می‌کنند. برای بررسی سطح تمرین و مسیر آمادگی می‌توانید از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
پرسش‌های پرتکرار
از کجا بفهمیم مسئله ب.م.م است یا ک.م.م؟
مجهول را نامگذاری کنید و جهت تقسیم را بنویسید. اگر عدد مجهول باید همه موجودیها را بدون باقیمانده تقسیم کند، شمارنده مشترک میخواهید؛ اگر مجهول باید بر همه عددهای دادهشده بخشپذیر باشد، مضرب مشترک میخواهید. سپس شرط بزرگترین یا کوچکترین و دیگر محدودیتها را اعمال کنید.
آیا واژه «کمترین» همیشه نشانه ک.م.م است؟
خیر. در مثال نوارها، کمترین تعداد برش با بزرگترین طول مجاز قطعه به دست میآید و این طول از ب.م.م تعیین میشود. معنای مجهول و رابطه آن با دادهها را مشخص کنید؛ یک واژه بهتنهایی روش را تعیین نمیکند.
چرا در مسئله چشمک چراغها، زمان صفر جواب نیست؟
در مثالِ شروع همزمان، چراغها در لحظه صفر هم با هم چشمک میزنند، اما سؤال نخستین رخداد مشترک پس از شروع را میخواهد. برای این خواسته، کوچکترین زمان مثبت انتخاب میشود. اگر تعداد رخدادها در یک بازه خواسته شده باشد، باید مشخص شود لحظه شروع هم شمرده میشود یا نه.
آیا برای تکرارهای با شروع متفاوت هم ک.م.م جواب نخستین زمان است؟
لزوماً نه. نخست زمان شروع و دوره هر رخداد را نسبت به یک مبدأ ثبت کنید. در مثال این صفحه، چراغ اول از ثانیه صفر هر ۶ ثانیه و دومی از ثانیه ۳ هر ۹ ثانیه چشمک می‌زند؛ نخستین اشتراک ثانیه ۱۲ است، با اینکه ک.م.م دوره‌ها ۱۸ است.