برای حل مسئله‌های درصد در تیزهوشان، پیش از محاسبه مشخص کنید هر درصد از کدام مقدار گرفته می‌شود. آن مقدار، مبناست و در همان مقایسه برابر با ۱۰۰ درصد در نظر گرفته می‌شود. اگر در میانه مسئله مبنا عوض شود، درصد بعدی را باید از مقدار تازه حساب کنید. در این راهنما برای ششم و نهم، تشخیص مبنا، افزایش و کاهش و بازسازی مقدار اولیه را تمرین می‌کنیم. همه مثال‌ها و اندازه‌ها فرضی و تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
درصد یعنی مقایسه با یک مبنای مشخص
۳۰ درصدِ یک مقدار، یعنی سی‌صدم آن مقدار. لازم نیست خود مقدار برابر ۱۰۰ باشد؛ مثلاً ۳۰ درصدِ یک نوار ۶۰ سانتی‌متری، ۱۸ سانتیمتر است. می‌توانید ابتدا یک‌دهمِ ۶۰، یعنی ۶ سانتیمتر را پیدا کنید و سپس آن را سه برابر کنید.
حالا همان قطعه ۱۸ سانتی‌متری را با نواری به طول ۹۰ سانتیمتر مقایسه کنید. این بار قطعه یک‌پنجم مبنا، یعنی ۲۰ درصد آن است. طول قطعه عوض نشده، اما درصدش تغییر کرده است؛ چون مقدار مقایسه از ۶۰ به ۹۰ رسیده است. بنابراین کنار پاسخ «۳۰ درصد» باید بتوانید بگویید «۳۰ درصدِ چه چیزی؟»
از نسبت به درصد برسید
برای بیان یک مقدار به درصدِ مقدار دیگر، هر دو را هم‌واحد کنید؛ سپس مقدار مورد پرسش را بر مبنای مثبت تقسیم کنید و حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید. برای قطعه اول، ۱۸ تقسیم بر ۶۰ برابر ۰٫۳ است و ضرب آن در ۱۰۰، عدد ۳۰ را می‌دهد. اگر تشخیص جزء و کل دشوار است، ابتدا رابطه نسبت را روشن کنید و بعد سراغ درصد بروید.
تفاوت نسبت جزء به جزء و جزء به کل را با مدل سهم‌های مساوی تمرین کنید.
برای مطالعه تکمیلیِ مفهوم و محاسبه درصد، راهنمای آموزشی دانشگاه آنگلیا راسکین را ببینید.
«درصدِ مقدار» را با «درصدِ تغییر» اشتباه نگیرید
طول یک نوار زرد ۶۰ و طول یک نوار سبز ۷۵ سانتیمتر است. پرسش «سبز چند درصدِ زرد است؟» تمام طول سبز را با زرد مقایسه میکند. چون ۷۵ تقسیم بر ۶۰ برابر ۱٫۲۵ است، سبز ۱۲۵ درصدِ زرد است.
اما پرسش «سبز چند درصد از زرد بلندتر است؟» فقط اضافه طول را می‌خواهد. اختلاف طول‌ها ۱۵ سانتیمتر است؛ این اختلاف نسبت به مبنای ۶۰ سانتی‌متری، یک‌چهارم یا ۲۵ درصد است. پس «۱۲۵ درصدِ طول زرد» و «۲۵ درصد بلندتر از زرد» در این مثال یک وضعیت را توصیف می‌کنند.
با برعکسشدن پرسش، مبنا هم عوض می‌شود
اگر بپرسند «زرد چند درصد از سبز کوتاهتر است؟»، اختلاف هنوز ۱۵ سانتیمتر است، ولی مبنا این بار طول سبز، یعنی ۷۵ سانتیمتر است. ۱۵ یک‌پنجمِ ۷۵ است؛ پس زرد ۲۰ درصد کوتاهتر است. پاسخ ۲۵ درصد را نمی‌توان فقط با عوض‌کردن واژه بلندتر به کوتاهتر تکرار کرد.
برای افزایش یا کاهش، مقدار تغییر و مقدار نهایی را جدا بنویسید
فرض کنید طول یک پاره‌خط در تصویر ۸۰ میلی‌متر است و تصویر را طوری بزرگ می‌کنیم که این طول ۵۰ درصد افزایش یابد. مبنای افزایش ۸۰ است؛ نصف آن، یعنی ۴۰ میلی‌متر، به طول اضافه می‌شود. طول تازه ۱۲۰ میلی‌متر است، نه ۴۰ میلی‌متر.
در چرک‌نویس سه برچسب کوتاه بگذارید: «مبنا: ۸۰»، «افزایش: ۴۰» و «مقدار نهایی: ۱۲۰». سپس خواسته را دوباره بخوانید. اگر مقدار افزایش را خواسته باشد، پاسخ ۴۰ است؛ اگر طول پس از بزرگ‌نمایی را بخواهد، پاسخ ۱۲۰ است.
یک کنترل پیش از ثبت پاسخ
در این مثال، افزایشِ مقداری مثبت باید طول نهایی را از ۸۰ بیشتر کند؛ پس پاسخ ۴۰ برای طول نهایی، حتی پیش از بررسی حساب‌ها مردود است. برای کاهش هم مقدار باقی‌مانده را با مقدار جداشده یکی نگیرید. کنترل حدود پاسخ می‌تواند محل چنین اشتباهی را نشان دهد، ولی جای تعیین مبنای درست را نمی‌گیرد.
روش کنترل حدود پاسخ و زمان نیاز به محاسبه دقیق را در راهنمای تخمین بخوانید.
چرا افزایش و کاهشِ درصدی یکسان همدیگر را خنثی نمی‌کنند؟
در ادامه همان مثال، این بار طولِ ۱۲۰ میلی‌متریِ تصویر تازه را ۵۰ درصد کم می‌کنیم. مبنای مرحله دوم ۱۲۰ است؛ نصف آن ۶۰ می‌شود و طول نهایی نیز ۶۰ میلی‌متر خواهد بود. مسیر کامل این است: ابتدا ۸۰، پس از افزایش ۱۲۰ و پس از کاهش ۶۰ میلی‌متر.
در مرحله اول ۴۰ میلی‌متر اضافه شد، ولی در مرحله دوم ۶۰ میلی‌متر کم شد. برابر بودن دو درصد به معنی برابر بودن مقدارهای تغییر نیست. طول نهایی نسبت به طول اولیه ۲۰ میلی‌متر کمتر است؛ ۲۰ از ۸۰، معادل ۲۵ درصد است. پس در مجموع، طول ۲۵ درصد کاهش یافته است.
اگر صورت سؤال مبنای ثابت بدهد چه می‌شود؟
اگر به‌جای «۵۰ درصدِ طول تازه»، گفته شود «به اندازه ۵۰ درصدِ طول اولیه کم کنید»، مقدار کاهش ۴۰ میلی‌متر خواهد بود و طول از ۱۲۰ به ۸۰ برمی‌گردد. تفاوت پاسخ از یک عبارت می‌آید: «طول تازه» یا «طول اولیه». پیش از جمع یا تفریق درصدها، این عبارت را در هر مرحله پیدا کنید.
وقتی مقدار نهایی معلوم است، ابتدا درصدِ باقی‌مانده را پیدا کنید
از یک نوار، ۲۰ درصد طول اولیه را جدا کرده‌ایم و ۵۶ سانتیمتر باقی مانده است. طول اولیه چقدر بوده؟ عدد ۵۶ به بخش باقی‌مانده مربوط است؛ یعنی به ۸۰ درصدِ طول اولیه، نه به ۱۰۰ درصد آن.
۸۰ درصد، چهارپنجمِ کل است. پس چهار سهم برابر روی هم ۵۶ سانتی‌مترند؛ هر سهم ۱۴ و پنج سهم ۷۰ سانتیمتر است. طول اولیه ۷۰ بوده است. برای کنترل، ۲۰ درصدِ ۷۰ برابر ۱۴ است و با جداکردن آن، همان ۵۶ سانتیمتر باقی می‌ماند.
چرا اضافه‌کردن ۲۰ درصد به ۵۶ جواب نمی‌دهد؟
با این کار، درصد را از مبنای اشتباه می‌گیرید. ۲۰ درصدِ ۵۶ برابر ۱۱٫۲ است، در حالی که قطعه جداشده ۱۴ سانتیمتر بود. برای بازگشت، ابتدا معلوم کنید عدد فعلی چند درصدِ مقدار اولیه است؛ سپس کل را از همان رابطه بازسازی کنید.
برای دنبال‌کردن مرحله‌های معکوس، راهنمای حل مسئله از آخر به اول را بخوانید.
تمرین مستقل: دو بار کوتاه‌کردن یک نوار
نواری به طول ۹۰ سانتیمتر داریم. ابتدا ۲۰ درصدِ طول اولیه و سپس ۲۵ درصدِ طول باقی‌مانده را جدا می‌کنیم. طول نهایی چند سانتیمتر است و در مجموع چند درصدِ طول اولیه جدا شده است؟ پیش از محاسبه، مبنای هر مرحله را بنویسید و توضیح دهید چرا نمی‌توان فوراً ۲۰ و ۲۵ را جمع کرد.
پاسخ و دلیل هر مرحله
در مرحله اول، ۲۰ درصدِ ۹۰ برابر ۱۸ سانتیمتر است؛ پس ۷۲ سانتیمتر می‌ماند. در مرحله دوم، مبنا همین ۷۲ است. یک‌چهارمِ آن، یعنی ۱۸ سانتیمتر، جدا می‌شود و طول نهایی ۵۴ سانتیمتر است.
مجموع قطعه‌های جداشده ۳۶ سانتیمتر است. برای درصد کلِ کاهش، این مقدار را با طول اولیه مقایسه می‌کنیم: ۳۶ از ۹۰ برابر دوپنجم، یعنی ۴۰ درصد است. دو درصدِ متفاوت در این تمرین، دو مقدار برابرِ ۱۸ سانتی‌متری ساخته‌اند؛ باز هم مبناست که معنای درصد را تعیین میکند.
برای تغییر تمرین، فقط عبارت دوم را به «۲۵ درصدِ طول اولیه» تبدیل کنید. این بار قطعه دوم ۲۲٫۵ سانتیمتر و مجموع کاهش ۴۰٫۵ سانتیمتر می‌شود؛ یعنی ۴۵ درصدِ طول اولیه، و طول نهایی ۴۹٫۵ سانتیمتر است. اکنون جمع دو درصد درست است، چون هر دو از همان مبنای ۹۰ گرفته شده‌اند.
چک‌لیست حل مسئله‌های درصد
اگر پاسخ شما با پاسخ تشریحی فرق داشت، پیش از تکرار محاسبه‌ها این موارد را بررسی کنید. ممکن است حساب درست باشد، اما برای مقداری غیر از خواسته انجام شده باشد.
- کنار هر درصد نوشته‌ام از کدام مقدار گرفته می‌شود.
- مقدار مبنا و مقدار مورد مقایسه را با یک واحد نوشته‌ام.
- می‌دانم سؤال خود مقدار، مقدار تغییر یا درصد تغییر را می‌خواهد.
- در هر مرحله تازه، ثابت‌ماندن یا تغییر مبنا را از متن بررسی کرده‌ام.
- برای بازسازی مقدار اولیه، درصدِ متناظر با مقدار معلوم را پیدا کرده‌ام.
- پاسخ را با اجرای دوباره تغییرها و کنترل بزرگ‌تر یا کوچک‌تر بودن سنجیده‌ام.
جمع‌بندی: نام مبنا را همراه درصد نگه دارید
درصد بدون مقدار مرجع، اندازه واقعی را مشخص نمی‌کند. برای هر مقایسه، مبنا را بنویسید؛ در افزایش و کاهش، مقدار تغییر را از مقدار نهایی جدا کنید؛ و در مسئله چندمرحله‌ای، پس از هر تغییر به متن برگردید تا معلوم شود درصد بعدی از چه مقداری گرفته می‌شود. تمرین نوار نشان داد حتی تغییر یک عبارت می‌تواند پاسخ را عوض کند.
برای تمرین بعدی، از خودتان بخواهید پیش از حساب‌کردن فقط مبنای درصدها را توضیح دهید. اگر تشخیص پیش‌نیاز یا انتخاب تمرین متناسب با سطح دشوار است، مسیر مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) برای بررسی برنامه آمادگی در دسترس است؛ این تمرین‌ها وعده نتیجه مشخصی در آزمون نیستند.
پرسش‌های پرتکرار
در مسائل درصد از کجا بفهمیم مبنا کدام مقدار است؟
عبارت بعد از «درصدِ» یا مقداری را که مقایسه نسبت به آن انجام می‌شود مشخص کنید. در «۲۰ درصدِ طول باقی‌مانده»، مبنا باقی‌مانده است؛ در «۲۰ درصدِ طول اولیه»، مبنا طول پیش از تغییر است. همان مقدار را در آن مقایسه ۱۰۰ درصد بگیرید.
چرا ۲۵ درصد بلندتر بودن به معنی ۲۵ درصد کوتاهتر بودن در مقایسه برعکس نیست؟
با برعکسشدن مقایسه، مبنا تغییر میکند. طول ۷۵ سانتیمتر نسبت به ۶۰، مقدار ۱۵ سانتیمتر اضافه دارد که ۲۵ درصدِ ۶۰ است؛ اما همان اختلاف نسبت به ۷۵، برابر ۲۰ درصد است.
درصدهای دو تغییر پیاپی را می‌توان جمع کرد؟
ابتدا مبنا را بررسی کنید. اگر درصد دوم از مقدار پس از تغییر اول گرفته شده باشد، جمع مستقیم درست نیست. در مثال نوار، کاهش ۲۰ درصد از طول اولیه و سپس ۲۵ درصد از باقی‌مانده، در مجموع ۴۰ درصدِ طول اولیه را کم میکند.
اگر بعد از کاهش درصدی، مقدار نهایی را داشته باشیم، چطور مقدار اولیه را پیدا کنیم؟
اول مشخص کنید مقدار نهایی چند درصدِ مقدار اولیه است. پس از کاهش ۲۰ درصدی، ۸۰ درصد باقی می‌ماند. اگر باقی‌مانده ۵۶ سانتیمتر باشد، این طول چهارپنجمِ کل است؛ بنابراین طول اولیه ۷۰ سانتیمتر بوده است.