برای رسم شکل بدون برداشتن قلم و بدون دوباره‌کشیدن خط‌ها، ابتدا پیوسته‌بودن شکل و سپس تعداد خط‌های متصل به هر نقطه را بررسی کنید. اگر شکل یکپارچه باشد، با صفر نقطهٔ فرد میتوان به محل شروع برگشت؛ با دو نقطهٔ فرد باید از یکی شروع کرد و به دیگری رسید؛ بیش از دو نقطهٔ فرد، رسم یک‌خطی را ناممکن می‌کند. در این راهنمای تمرینی تیزهوشان ششم و نهم، دلیل این قاعده و روش کنترل مسیر را با شکل‌هایی که خودتان می‌کشید یاد می‌گیرید. مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
اول قرارداد رسم یک‌خطی را روشن کنید
در این مقاله باید تمام خط‌های شکل را دقیقاً یک بار طی کنیم، مداد را از کاغذ برنداریم و خط تازه‌ای هم اضافه نکنیم. برگشتن به یک نقطه مجاز است، اما عبور دوباره از یک خط مجاز نیست. اگر دستور تمرینی برگشتن به نقطه را هم ممنوع کند، مسئله عوض می‌شود و این قاعده به‌تنهایی پاسخ آن نیست.
این پرسش با شمارش راه‌های رسیدن از مبدأ به مقصد تفاوت دارد. اینجا تعداد مسیرها را نمی‌خواهیم؛ می‌پرسیم آیا مسیری وجود دارد که همهٔ خط‌ها را مصرف کند و اگر هست، از کجا شروع شود.
اگر خواسته تعداد راه‌های رسیدن روی شبکه است، آموزش شمارش مسیرها در تیزهوشان را ببینید.
شکل را به نقطهها و خط‌های بین آن‌ها تبدیل کنید
گوشه‌ها، انتهای خط‌های باز و محل اتصال‌ها را نام‌گذاری کنید. هر قطعهٔ بین دو نقطه را یک خط مستقل حساب کنید. تعداد سرِ خط‌های متصل به یک نقطه را «درجه» آن می‌نامیم: نقطه‌ای با درجهٔ ۲ زوج است و نقطه‌ای با درجهٔ ۳ فرد. اگر خطی از نقطه عبور کند و در آن قطع نشود، دو شاخه به شمارش آن نقطه اضافه می‌کند.
تقاطع را از روی قرارداد شکل بخوانید. اگر محل برخورد دو خط یک اتصال باشد، چهار شاخه دارد و میتوان در آن مسیر را عوض کرد. اگر یکی مانند پل از روی دیگری بگذرد و اتصال نداشته باشند، صرف برخورد در تصویر اجازهٔ تغییر مسیر نمی‌دهد. در مثال‌های این صفحه، هر تقاطع یک اتصال است؛ شکل‌ها خط جهت‌دار یا حلقه‌ای که به همان نقطه برگردد ندارند.
برای تشخیص اتصال واقعی خط‌ها و پرهیز از ساختن مسیر خیالی، تمرین شکل پنهان را انجام دهید.
چرا نقطه‌های فرد، شروع و پایان را تعیین می‌کنند؟
هر بار که وارد یک نقطهٔ میانی می‌شوید، برای ادامه باید از خط دیگری بیرون بروید. خط‌های ورود و خروج دوتادوتا جفت می‌شوند؛ پس وقتی همهٔ خط‌ها طی شده‌اند، درجهٔ آن نقطه زوج است. فقط محل شروع و پایان می‌توانند یک خط بدون جفت داشته باشند.
اگر شروع و پایان متفاوت باشند، هرکدام درجهٔ فرد دارند و بقیهٔ نقطهها زوج‌اند. اگر به همان نقطهٔ شروع برگردید، اولین خروج با آخرین ورود جفت می‌شود و همهٔ نقطهها زوج خواهند بود. این دلیل نشان می‌دهد چرا چهار نقطهٔ فرد را نمی‌توان با انتخاب هوشمندانهٔ نقطهٔ شروع دور زد.
- هیچ نقطهٔ فردی نیست: در شکل پیوسته میتوان از هر نقطهٔ دارای خط شروع کرد و به همان‌جا برگشت.
- دقیقاً ۲ نقطهٔ فرد داریم: مسیر از یکی آغاز می‌شود و در دیگری پایان می‌یابد.
- بیش از ۲ نقطهٔ فرد داریم: با قرارداد این مقاله، مسیر یک‌خطی وجود ندارد.
منطق جفت‌کردن و تشخیص حالت ناممکن را در آموزش زوج و فرد در مسائل تیزهوشان مرور کنید.
مثال حل‌شده: مربع با یک قطر را از کجا شروع کنیم؟
یک مربع بکشید و گوشه‌ها را چنین نام بگذارید: «الف» بالا و چپ، «ب» بالا و راست، «پ» پایین و راست و «ت» پایین و چپ. فقط قطر «الف‌ـ‌پ» را اضافه کنید. شکل ۵ خط دارد: چهار ضلع و همین قطر.
درجه‌ها را پیش از امتحان مسیر بنویسید
به «الف» سه خط وصل است: دو ضلع و یک قطر. «پ» نیز درجهٔ ۳ دارد. در «ب» و «ت» فقط دو ضلع به هم می‌رسند، پس درجهٔ هرکدام ۲ است. شکل پیوسته است و دقیقاً دو نقطهٔ فرد دارد؛ بنابراین شروع و پایان باید «الف» و «پ» باشند. شروع از «ب» با این خواسته سازگار نیست.
یک مسیر بسازید و تک‌تک خط‌ها را کنترل کنید
از «الف» به‌ترتیب به «ب»، «پ»، «ت»، «الف» و سرانجام «پ» بروید. ابتدا چهار ضلع و بعد قطر طی شده‌اند. دوباره‌دیدن «الف» اشکالی ندارد؛ هیچ خطی تکرار نشده است. مسیر معکوس هم معتبر است: از «پ» شروع کنید و همین راه را برعکس بروید.
در کنار شکل، خط‌ها را پس از هر گام علامت بزنید. نوشتن فقط «از الف به پ» کافی نیست؛ باید روشن باشد کدام خط‌ها و به چه ترتیبی طی شده‌اند.
دو دام: تقاطع وسط شکل و جدا بودن بخش‌ها
به همان مربع، قطر دوم یعنی «ب‌ـ‌ت» را اضافه کنید و نقطهٔ برخورد دو قطر را «ث» بنامید. هر گوشه اکنون درجهٔ ۳ دارد، اما درجهٔ «ث» برابر ۴ است. هر قطر در محل اتصال به دو قطعه تقسیم می‌شود؛ بنابراین شکل اکنون ۸ قطعهٔ خط دارد. چهار گوشه فردند و رسم همهٔ خط‌ها در یک حرکت ممکن نیست. زوج بودن نقطهٔ مرکزی، فرد بودن گوشه‌ها را جبران نمی‌کند.
حالا دو مثلث جدا از هم بکشید که هیچ اتصال مشترکی ندارند. همهٔ رأس‌ها درجهٔ ۲ دارند، ولی نمی‌توان بدون برداشتن مداد از مثلث اول به دومی رفت. پس شمردن نقطه‌های فرد را همیشه پس از بررسی پیوستگی انجام دهید. منظور از پیوستگی این است که از طریق خط‌های خود شکل بتوان از هر بخش به بخش دیگر رسید.
امکان رسم با درست بودن هر مسیر پیشنهادی یکسان نیست
قاعدهٔ درجه‌ها می‌گوید یک مسیر کامل وجود دارد؛ نمی‌گوید هر انتخاب بعدی به پاسخ می‌رسد. ممکن است با انتخاب نامناسب به جایی برسید که خط استفاده‌نشده‌ای برای ادامه ندارد، در حالی که جای دیگری از شکل هنوز خط باقی مانده است. این شکستِ یک تلاش، دلیل ناممکن بودن اصل مسئله نیست.
برای ساختن پاسخ، از نقطهٔ مناسب شروع کنید و پس از هر گام خط طی‌شده را علامت بزنید. اگر پیش از مصرف همهٔ خط‌ها متوقف شدید، به آخرین محل انتخاب برگردید و مسیر دیگری را بررسی کنید. برای شکل کوچک، نام نقطهها و فهرست خط‌ها کافی است؛ پس از پیدا کردن مسیر، یک بار آن را از ابتدا و بدون اصلاح بازخوانی کنید.
اگر محل شروع یا پایان را سؤال تعیین کرده باشد
در مربعِ دارای یک قطر، مسیر وجود دارد اما شروع از «ب» مجاز نیست؛ چون دو نقطهٔ فرد «الف» و «پ» هستند. همچنین اگر سؤال بازگشت به همان نقطهٔ شروع را بخواهد، وجود حتی دو نقطهٔ فرد هم مانع است. پیش از انتخاب گزینه، خواستهٔ «رسم ممکن است؟» را از «رسم از این نقطه ممکن است؟» جدا کنید.
تمرین مستقل: شکل خانه را بسازید و مسیر را بنویسید
مربعی با نام‌گذاری مثال قبل بکشید. نقطهٔ «ج» را بالای وسط ضلع بالایی قرار دهید و آن را به «الف» و «ب» وصل کنید تا سقفی مثلثی ساخته شود. هر چهار ضلع مربع، از جمله خط افقی «الف‌ـ‌ب» زیر سقف، در شکل باقی بمانند. قطر یا خط دیگری اضافه نکنید.
پیش از خواندن پاسخ، درجهٔ هر نقطه، محل‌های شروع مجاز و یک مسیر کامل را روی کاغذ بنویسید. سپس بپرسید اگر قطر «الف‌ـ‌پ» اضافه شود، شروع و پایان چه تغییری می‌کنند؟
پاسخ شکل خانه بدون قطر
درجهٔ «الف» و «ب» برابر ۳ و درجهٔ «پ»، «ت» و «ج» برابر ۲ است. پس مسیر باید بین «الف» و «ب» باشد. یک ترتیب درست این است: «الف، ت، پ، ب، ج، الف، ب». این مسیر هر ۶ خط را دقیقاً یک بار طی می‌کند و در «ب» پایان می‌یابد.
پاسخ پس از اضافه‌کردن قطر
قطر، یک خط به «الف» و یک خط به «پ» اضافه می‌کند. درجهٔ «الف» از ۳ به ۴ و درجهٔ «پ» از ۲ به ۳ تغییر می‌کند؛ «ب» همچنان فرد است. اکنون دو سر مسیر «ب» و «پ» هستند. یک مسیر معتبر: «ب، ج، الف، ت، پ، ب، الف، پ». هر ۷ خط دقیقاً یک بار آمده‌اند. تغییر کوچک در شکل، نقطهٔ شروع مجاز را تغییر داد؛ قاعده را باید روی شکل تازه اجرا کرد.
برای نگه‌داشتن ترتیب گام‌ها و جداکردن تلاش ناموفق از مسیر نهایی، راهنمای چرک‌نویس را ببینید.
جمع‌بندی و چک‌لیست رسم شکل بدون برداشتن قلم
در تمرین بعدی، پیش از حرکت مداد سه چیز را بنویسید: آیا همهٔ بخش‌ها به هم وصل‌اند، کدام نقطهها فردند و خواسته چه محدودیتی برای شروع و پایان دارد؟ سپس اگر رسم ممکن بود، یک ترتیب کامل ارائه کنید و آن را با فهرست خط‌های شکل تطبیق دهید. پاسخ «می‌شود» بدون مسیر، تمرین ساختن راه‌حل را کامل نمی‌کند.
این تمرین برای یادگیری استدلال روی شکل در مسیر آمادگی آزمون تیزهوشان است و دربارهٔ سهم سؤال‌ها یا نتیجهٔ پذیرش وعده‌ای ندارد. اگر تشخیص سطح تمرین و جای آن در برنامه دشوار است، می‌توانید برای بررسی مسیر از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
- قرارداد عبور از خط و برگشتن به نقطه را خوانده‌ام.
- اتصال واقعی تقاطع‌ها و پیوستگی شکل را بررسی کرده‌ام.
- درجهٔ هر نقطه را از تعداد شاخه‌ها شمرده‌ام.
- شروع و پایان را با نقطه‌های فرد و خواسته تطبیق داده‌ام.
- در مسیر نهایی، هیچ خطی جا نیفتاده یا تکرار نشده است.
درخواست مشاوره برای تنظیم تمرین و برنامه آمادگی آزمون تیزهوشان
پرسش‌های پرتکرار
چگونه بفهمیم شکل بدون برداشتن قلم رسم می‌شود؟
با قرارداد عبور دقیقاً یک بار از هر خط، ابتدا پیوستگی شکل را بررسی کنید. در شکل پیوسته، صفر نقطهٔ فرد یعنی امکان مسیر بسته و دو نقطهٔ فرد یعنی امکان مسیر بین همان دو نقطه. بیش از دو نقطهٔ فرد، رسم یک‌خطی را ناممکن می‌کند.
آیا میتوان از یک نقطه چند بار عبور کرد؟
در قرارداد این مقاله بله؛ ممنوعیت مربوط به تکرار خط است. اگر صورت تمرین تکرار نقطه را هم ممنوع کند، باید آن شرط جداگانه بررسی شود و قاعدهٔ درجه‌ها به‌تنهایی کافی نیست.
شکل با دو نقطهٔ فرد را از هرجا میتوان شروع کرد؟
خیر. باید از یکی از دو نقطهٔ فرد آغاز کرد و به دیگری رسید. اگر نقطهٔ شروع مشخص‌شده زوج باشد، رسم همهٔ خط‌ها با آن نقطهٔ شروع ممکن نیست.
آیا زوج بودن همهٔ نقطهها برای رسم شکل کافی است؟
فقط وقتی بخشهای دارای خط به هم متصل باشند. دو مثلث جدا همهٔ رأسهایشان زوج است، اما برای رفتن از یکی به دیگری باید مداد را برداشت. در شکل پیوسته با همهٔ درجههای زوج، میتوان به محل شروع برگشت.