برای پیدا کردن وجه مقابل تاس در تمرین‌های تیزهوشان، همسایه‌های هر وجه را از تصویرها جمع کنید. هر وجه مکعب چهار همسایه دارد؛ اگر هر چهار را شناخته باشید، تنها وجه باقی‌مانده روبهروی آن است. این راهنما برای ششم و نهم نشان می‌دهد چگونه از چند نمای ناقص نتیجه بگیرید و چه زمانی اطلاعات هنوز کافی نیست. همه مکعب‌ها و تمرین‌های این متن تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
پیش از حل، هویت وجهها و نوع نما را روشن کنید
در این تمرین، تصویرها وضعیت‌های مختلفِ یک مکعب را نشان می‌دهند؛ برچسب‌ها روی وجهها ثابت‌اند و هر برچسب فقط یک بار به کار رفته است. در هر نما سه وجه دیده می‌شوند که در یک گوشه مکعب به هم می‌رسند. پس هر دو وجهِ دیده‌شده در همان نما، یک لبه مشترک دارند و همسایه‌اند.
«وجه روبه‌رو» با «وجه رو به ما» فرق دارد. روبه‌رو یا مقابل یعنی دو وجهِ دو سوی مکعب که لبه مشترک ندارند؛ مثلاً سقف و کف. با چرخاندن کل مکعب، سقف ممکن است به کنار برود، اما رابطه همسایگی و روبه‌روبودنِ برچسب‌ها عوض نمی‌شود.
اگر دو وجه علامت یکسان داشته باشند، دیدن همان علامت در دو تصویر لزوماً به معنی دیدن همان وجه نیست. روش این مقاله بر متفاوت‌بودن برچسبهای شش وجه تکیه دارد؛ در سؤال دارای علامت تکراری، برای تشخیص هویت وجه به نشانه یا اطلاعات بیشتری نیاز داریم.
برای هر وجه، فهرست همسایه‌های دیده‌شده بسازید
نام وجه موردنظر را بنویسید و در هر تصویری که آن را می‌بینید، دو نام دیگر را به فهرست همسایه‌هایش اضافه کنید. نام تکراری را دوباره نشمارید. اگر یک همسایه در چند تصویر دیده شود، هنوز فقط یک همسایه شناخته‌اید.
ندیدنِ دو وجه کنار هم، روبه‌روبودن آن‌ها را ثابت نمی‌کند؛ ممکن است فقط تصویرِ نشان‌دهنده همسایگی‌شان در اختیار ما نباشد. کنار هر رابطه، دلیل کوتاهی ثبت کنید: «همسایه، چون در نمای الف با هم دیده شدند» یا «مقابل، چون چهار همسایه دیگر معلوم‌اند». این کار فاصله میان مشاهده و حدس را روشن نگه می‌دارد.
- نام شش برچسب متفاوت را از داده سؤال استخراج می‌کنم.
- سه برچسب هر نما را جدا ثبت می‌کنم.
- برای وجه هدف، همسایه‌های تکراری را فقط یک بار می‌شمارم.
- پس از شناخت چهار همسایه، برچسب باقی‌مانده را مقابل وجه هدف قرار می‌دهم.
مثال حل‌شده: وجه مقابل را از چهار همسایه پیدا کنید
شش وجه یک مکعب با نام‌های «خورشید»، «ماه»، «برگ»، «گل»، «قطره» و «ابر» برچسب خورده‌اند. در فهرست‌های این مثال فقط نام سه وجهِ رسیده به یک گوشه را می‌نویسیم؛ ترتیب نام‌ها به معنی جای بالا، چپ یا راست نیست. از دو نمای زیر، وجه مقابل «خورشید» را پیدا کنید.
- نمای الف: خورشید، برگ، قطره.
- نمای ب: خورشید، گل، ابر.
پاسخ: ماه، با دلیل حذف همسایهها
خورشید در نمای الف با برگ و قطره همسایه است؛ در نمای ب با گل و ابر. این چهار نام متفاوت، همه همسایه‌های خورشید را تشکیل می‌دهند. از شش برچسب، خود خورشید و چهار همسایه‌اش کنار می‌روند و فقط ماه باقی می‌ماند؛ پس ماه مقابل خورشید است.
در این دو نما، تنها برچسب مشترک خورشید است و همین باعث می‌شود چهار همسایه متفاوت آن را ببینیم. اما هنوز نمی‌توانیم بگوییم برگ حتماً مقابل گل است: برگ می‌تواند مقابل گل یا ابر قرار بگیرد. پاسخ سؤال خورشید روشن شده، ولی همه رابطه‌های مکعب هنوز معلوم نشده‌اند.
دو وجه مشترک، چه رابطه‌ای میان وجههای سوم می‌سازند؟
اگر دو نما از همان مکعب، دو وجه مشترک داشته باشند و وجه سومشان متفاوت باشد، آن دو وجه سوم روبهروی هماند. دلیل را با یک لبه ببینید: دو وجه مشترک یک لبه مشترک دارند. در هر سر این لبه، وجه دیگری به آن‌ها می‌رسد؛ این دو وجهِ دو سر لبه، مقابل یکدیگرند.
حالا به مثال قبلی یک نمای تازه اضافه کنید: «نمای پ: خورشید، برگ، ابر». نمای الف و نمای پ، خورشید و برگ را مشترک دارند. وجههای سومشان قطره و ابر است؛ پس قطره مقابل ابر قرار می‌گیرد. پیش‌تر خورشید و ماه را شناخته بودیم؛ تنها دو نام باقی‌مانده برگ و گل‌اند و آن‌ها نیز روبهروی هم قرار میگیرند.
قاعده را روی دو تصویر تکراری اجرا نکنید
اگر هر سه برچسب در دو تصویر یکسان باشند، وجه سومِ متفاوتی نداریم. تغییر محل یک نام روی صفحه، به‌تنهایی یک برچسب تازه ایجاد نمی‌کند. پیش از اجرای قاعده، دو نام مشترک و دو نام سومِ متفاوت را مشخص کنید؛ همه باید متعلق به همان مکعب با برچسبهای یکتا باشند.
اطلاعات ناکافی را با دو مکعب سازگار نشان دهید
این بار نمای ب را حذف کنید. فقط نمای الف، یعنی «خورشید، برگ، قطره»، و نمای پ، یعنی «خورشید، برگ، ابر»، در اختیار شماست. آیا مقابل خورشید همچنان حتماً ماه است؟ خیر. از این دو نما، فقط سه همسایه خورشید را می‌شناسیم: برگ، قطره و ابر. همچنین می‌دانیم قطره و ابر روبهروی هماند.
برای نشان‌دادن کمبود اطلاعات، دو چیدمان ممکن بسازید. در هر دو، خورشید را بالا، برگ را جلو، قطره را راست و ابر را چپ بگذارید. حالا ماه و گل را در دو جای باقی‌مانده قرار دهید:
- چیدمان اول: ماه پایین و گل پشت؛ مقابل خورشید، ماه است.
- چیدمان دوم: گل پایین و ماه پشت؛ مقابل خورشید، گل است.
چرا هر دو چیدمان داده‌ها را رعایت می‌کنند؟
در هر دو مکعب، خورشید و برگ با قطره در یک گوشه و با ابر در گوشه دیگر دیده می‌شوند. پس هر دو نمای باقی‌مانده برقرارند، ولی پاسخِ مقابل خورشید یکسان نیست. این تفاوت، دلیل کافی برای نداشتن پاسخ یکتا است. اگر نمای ب دوباره اضافه شود، چیدمان دوم رد می‌شود؛ چون در آن گل مقابل خورشید است و نمی‌تواند کنار آن دیده شود.
برای تمرین همین روشِ ساخت دو پاسخ سازگار، راهنمای کفایت داده در تیزهوشان را ببینید.
دانستن وجههای مقابل، جای بالا و راست را تعیین نمی‌کند
فهرست زوجهای مقابل برای پاسخ به پرسش «مقابل کدام است؟» مناسب است. اگر سؤال، تصویر دقیق مکعب را بخواهد، ترتیب وجهها دور گوشه هم اهمیت دارد. فهرست نام‌های سه‌تاییِ مثال ما عمداً این ترتیب را مشخص نکرده است؛ نباید اطلاعاتی را که ثبت نکرده‌ایم از آن نتیجه بگیریم.
برای نمونه، در یک تصویر مبنا از مکعبی مشخص، خورشید بالا، برگ جلو و قطره راست است. اگر همین دو وجهِ خورشید و برگ را در همان جای بالا و جلو نگه داریم، نمی‌توانیم با چرخش مکعب ابر را جای قطره در سمت راست بنشانیم. برای کنترل چنین گزینه‌ای باید تصویر مبنا و ترتیب وجهها را دنبال کنیم؛ درست‌بودن زوجهای مقابل به‌تنهایی کافی نیست.
وقتی جای وجهها معلوم است و مسئله حرکت دارد، روش ثبت تغییر وضعیت در غلتاندن مکعب را تمرین کنید.
تمرین مستقل: مکعب شمارهدار را از داده‌ها حل کنید
روی شش وجه یک مکعب، عددهای ۱ تا ۶ هرکدام یک بار نوشته شده‌اند. هیچ قاعده‌ای درباره جمع عددهای روبه‌رو فرض نکنید. در سه نمای زیر، هر فهرست فقط نام سه وجهِ رسیده به یک گوشه است. زوجهای مقابل را پیدا کنید و برای هر زوج دلیل بنویسید.
- نمای اول: ۱، ۲ و ۳.
- نمای دوم: ۱، ۲ و ۶.
- نمای سوم: ۱، ۳ و ۵.
پاسخ: ابتدا دو مقایسه، سپس زوج باقی‌مانده
نمای اول و دوم، ۱ و ۲ را مشترک دارند؛ پس ۳ مقابل ۶ است. نمای اول و سوم، ۱ و ۳ را مشترک دارند؛ پس ۲ مقابل ۵ است. تنها عددهای باقی‌مانده ۱ و ۴ هستند و آن‌ها نیز مقابل هماند. بنابراین پاسخ کامل، زوجهای «۳ و ۶»، «۲ و ۵» و «۱ و ۴» است.
برای کنترل، در هیچ‌یک از نماها نباید یک زوج مقابل کنار هم دیده شود. در این مثال، جمع بعضی زوج‌ها ۷ نیست و اشکالی هم ندارد؛ مکعب آموزشی از داده‌های خودش پیروی می‌کند. حالا نمای سوم را بپوشانید: زوج ۳ و ۶ همچنان معلوم است، اما دو زوج دیگر یکتا نیستند. می‌توانید برای آن‌ها دو حالت سازگار بسازید؟
دو حالت ممکن برای زوجهای باقی‌مانده، «۱ و ۴، ۲ و ۵» و «۱ و ۵، ۲ و ۴» هستند؛ هر دو با دو نمای نخست سازگارند. نمای سوم میان این دو حالت تمایز می‌گذارد، چون در آن ۱ و ۵ همسایه‌اند و نمی‌توانند مقابل هم باشند.
از مدل واقعی به استدلال مستقل برسید
اگر مفهوم همسایه و مقابل هنوز مبهم است، یک مکعب کاغذی با شش برچسب متفاوت بسازید. پیش از چرخاندن، همسایه‌های یک وجه را پیش‌بینی کنید؛ سپس مدل را بچرخانید و فهرست را کنترل کنید. در گام بعد، فقط چند نما را ثبت و مدل را کنار بگذارید تا پاسخ را از روی همان اطلاعات به دست آورید.
برای ششم یا نهم، دشواری را با توان فعلی تنظیم کنید: ابتدا یک وجه هدف، سپس یافتن همه زوج‌ها و بعد مقایسه داده کافی و ناکافی. والد می‌تواند بپرسد «این دو را در کدام نما همسایه دیدی؟» و فرصت توضیح بدهد. هدف تمرین، کوتاه‌کردن مسیر همراه با دلیل است؛ حفظ یک میان‌بر بدون شرط‌هایش کافی نیست.
- یکسان‌بودن مکعب و متفاوت‌بودن برچسب‌ها را بررسی کرده‌ام.
- همسایه تکراری را دوباره نشمرده‌ام.
- ندیدن هم‌زمان دو وجه را دلیل مقابل‌بودن نگرفته‌ام.
- در قاعده دو وجه مشترک، وجههای سوم واقعاً متفاوت‌اند.
- اگر پاسخ یکتا نیست، دو چیدمان سازگار نشان می‌دهم.
- برای انتخاب تصویر دقیق، ترتیب وجهها را هم کنترل می‌کنم.
برای ساخت مدل و بررسی رابطه وجهها پس از تا شدن، از آموزش گسترده مکعب استفاده کنید.
جمع‌بندی: هر رابطه را به یک شاهد وصل کنید
تشخیص وجه مقابل تاس از چند نما با ثبت همسایهها آغاز می‌شود. چهار همسایه متفاوت، وجه مقابل را مشخص می‌کنند؛ دو وجه مشترک در دو نمای دارای وجه سوم متفاوت نیز یک زوج مقابل به دست می‌دهند. هرجا بیش از یک چیدمان با داده‌ها سازگار است، کمبود اطلاعات را نگه دارید و پاسخ قطعی نسازید.
اگر برای انتخاب سطح تمرین فضایی و جای‌دادن آن در برنامه آمادگی نیاز به راهنمایی دارید، می‌توانید از بخش مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) استفاده کنید. این آموزش برای ساختن روش حل است و نتیجه آزمون را تضمین نمی‌کند.
پرسش‌های پرتکرار
آیا دو تصویر برای پیدا کردن وجه مقابل تاس کافی است؟
به اطلاعات آن دو تصویر بستگی دارد. اگر چهار همسایه متفاوتِ وجه هدف را نشان دهند، مقابل آن معلوم می‌شود. اگر هنوز دو چیدمان سازگار پاسخ متفاوتی بدهند، اطلاعات کافی نیست؛ تعداد تصویرها به‌تنهایی معیار نیست.
وقتی دو وجه در دو نما مشترکاند، وجههای سوم مقابل هم هستند؟
بله، به شرط آنکه نماها از همان مکعب با برچسبهای متفاوت باشند، هر سه وجهِ هر نما در یک گوشه به هم برسند و برچسب دو وجه سوم متفاوت باشد. دو وجه سوم در دو سر لبه مشترک قرار میگیرند و روبهروی هماند.
آیا در سؤال مکعب شمارهدار، جمع وجههای مقابل را ۷ بگیریم؟
فقط اگر قاعده شمارهگذاری در خود سؤال مشخص شده باشد. در مکعب آموزشی نمیتوان این رابطه را خودسرانه فرض کرد؛ زوجهای مقابل را از تصویرها و شرطهای دادهشده استخراج کنید.
اگر دو وجه علامت یکسان داشته باشند، روش فهرست همسایهها معتبر است؟
بدون تشخیص هویت وجهها نمیتوان فهرستها را با اطمینان ترکیب کرد. یک علامت مشابه ممکن است متعلق به دو وجه متفاوت باشد. ابتدا باید از نشانه یا اطلاعات دیگر معلوم شود کدام وجه در هر نما دیده شده است.