برای حل سؤال مقیاس نقشه در تیزهوشان، ابتدا بنویسید هر واحد طول روی نقشه نماینده چه مقدار از همان واحد در واقعیت است. سپس واحدها را هماهنگ کنید و مشخص کنید از نقشه به واقعیت می‌روید یا برعکس. مثلاً در مقیاس «۱ به ۲۵۰۰»، هر سانتیمتر نقشه برابر ۲۵۰۰ سانتیمتر، یعنی ۲۵ متر در واقعیت است. این راهنمای ششم و نهم، تبدیل طول، مقایسه نقشه‌ها و خطای اندازه‌گیری از تصویر را با مثال‌های تألیفی آموزش میدهد؛ هیچ نمونه‌ای سؤال رسمی آزمون نیست.
مقیاس نقشه را با نام دو طول بخوانید
در یک نقشه کوچکشده با مقیاس «۱ به ۲۵۰۰»، ترتیب دو عدد چنین است: طول روی نقشه به طول متناظر در واقعیت. پس ۱ سانتیمتر روی نقشه، ۲۵۰۰ سانتیمتر در واقعیت را نشان میدهد. اگر با میلی‌متر کار کنید، هر ۱ میلی‌متر نقشه هم نماینده ۲۵۰۰ میلی‌متر واقعی است؛ شرط این خواندن، یکسان بودن واحد دو طرف است.
عبارت «هر سانتیمتر نقشه برابر ۲۵ متر واقعی است» همین رابطه را با دو واحد متفاوت بیان می‌کند. اما برای نوشتن نسبت عددیِ بدون واحد، نباید آن را «۱ به ۲۵» بنویسید؛ ابتدا ۲۵ متر را به ۲۵۰۰ سانتیمتر تبدیل کنید. مقیاس عددی، نسبت دو طول هم‌واحد است.
اگر ترتیب دو طرف نسبت یا یکسان‌کردن واحدها مبهم است، آموزش نسبت و تناسب در تیزهوشان را مرور کنید.
از نقشه به واقعیت: ارزش یک سانتیمتر را پیدا کنید
مثال تألیفی: در نقشه‌ای با مقیاس «۱ به ۲۵۰۰»، طول یک مسیر مستقیم ۶ سانتیمتر داده شده است. طول واقعی این مسیر بر حسب متر کدام است؟ عدد ۶ داده صورت سؤال است و نیازی به اندازه‌گیری تصویر نداریم.
- گزینه ۱: ۱۵ متر
- گزینه ۲: ۱۵۰ متر
- گزینه ۳: ۱۵۰۰ متر
- گزینه ۴: ۱۵۰۰۰ متر
حل با ارزش یک واحد و کنترل واحد نهایی
هر سانتیمتر نقشه، ۲۵ متر واقعی را نشان میدهد. بنابراین ۶ برابرِ ۲۵، یعنی ۱۵۰ متر، پاسخ است و گزینه ۲ درست میشود. می‌توان ابتدا ۶ را در ۲۵۰۰ ضرب کرد و به ۱۵۰۰۰ سانتیمتر رسید؛ سپس با تقسیم بر ۱۰۰، همان ۱۵۰ متر را به دست آورد.
عدد ۱۵۰۰۰ در میانه حل درست بود، اما واحدش سانتیمتر است. انتخاب گزینه ۴ یعنی مقدار میانی را با واحد نهایی اشتباه گرفته‌ایم. برای کنترل بزرگی پاسخ نیز توجه کنید که ۴ سانتیمتر نقشه برابر ۱۰۰ متر واقعی است؛ پس جوابِ ۶ سانتیمتر باید از ۱۰۰ متر بیشتر باشد. این کنترل، جای محاسبه دقیق را نمی‌گیرد، اما خطایی مثل پاسخ ۱۵ متر را آشکار می‌کند.
برای بررسی واحد و معقول‌بودن بزرگی جواب، روش تخمین محاسبات در تست‌زنی را تمرین کنید.
از واقعیت به نقشه: همان رابطه را معکوس اجرا کنید
مثال تألیفی: می‌خواهیم مسیری به طول واقعی ۱۸۰ متر را در مقیاس «۱ به ۴۰۰۰» رسم کنیم. هر سانتیمتر نقشه برابر ۴۰ متر واقعی است. پس باید ببینیم در ۱۸۰ متر، چند بخشِ ۴۰ متری جا می‌گیرد: حاصل تقسیم ۱۸۰ بر ۴۰ برابر ۴٫۵ است و طول روی نقشه ۴٫۵ سانتیمتر میشود.
راه دیگر این است که ابتدا ۱۸۰ متر را ۱۸۰۰۰ سانتیمتر بنویسید و سپس بر ۴۰۰۰ تقسیم کنید. تقسیم مستقیم ۱۸۰ بر ۴۰۰۰ و نام‌گذاری جواب به سانتیمتر، تبدیل متر به سانتیمتر را جا می‌اندازد. هر دو راه درست‌اند، به شرط آنکه واحد هر عدد روشن باشد.
پیش از ضرب یا تقسیم، مسیر تبدیل را بنویسید
در نقشه کوچکشده، برای رفتن از طول نقشه به طول واقعیِ هم‌واحد، در عدد دوم مقیاس ضرب میکنیم؛ برای برگشت، بر همان عدد تقسیم میکنیم. اگر از رابطه «هر سانتیمتر برابر چند متر» استفاده می‌کنید، واحدها از قبل در آن تبدیل شده‌اند. در برگه حل، کنار عددها «روی نقشه» و «واقعی» بنویسید تا جابه‌جا نشوند.
طول مسیر را با فاصله مستقیم دو نقطه یکی نگیرید
در یک نقشه با مقیاس «۱ به ۲۰۰۰»، مسیر از سه بخش پیاپی به طول‌های ۳، ۲ و ۴ سانتیمتر تشکیل شده است. مجموع طول مسیر روی نقشه ۹ سانتیمتر است. هر سانتیمتر، ۲۰ متر واقعی را نشان میدهد؛ پس طول واقعی مسیر ۱۸۰ متر است.
اما اگر سؤال فاصله مستقیم نقطه شروع تا پایان را بخواهد، جمع این سه طول کافی نیست. برای محاسبه آن، باید شکل مسیر، جهت بخشها یا طول پاره‌خط اتصال دو نقطه را هم بدانیم. مقیاس فقط طولی را که درست انتخاب کرده‌اید تبدیل می‌کند؛ تشخیص اینکه کدام خط پاسخ خواسته است، مرحله جداگانه‌ای است.
برای جداکردن مسیر حرکت از جایگاه نهایی، روش رسم و خواندن سؤال‌های جهت‌یابی را ببینید.
دو نقشه از یک مسیر را چگونه مقایسه کنیم؟
یک مسیر واقعیِ ۱۰۰ متری را در دو نقشه نشان می‌دهیم. در مقیاس «۱ به ۲۰۰۰»، هر سانتیمتر برابر ۲۰ متر است؛ بنابراین مسیر روی نقشه ۵ سانتیمتر طول دارد. در مقیاس «۱ به ۵۰۰۰»، هر سانتیمتر برابر ۵۰ متر است و همان مسیر فقط ۲ سانتیمتر میشود.
پس بزرگ‌تر بودن عدد دوم مقیاس به معنی بلندتر شدن مسیر روی کاغذ نیست. در این مثال، نقشه دوم مقدار بیشتری از واقعیت را در هر سانتیمتر جا داده و مسیر را کوتاه‌تر نشان میدهد. برای مقایسه، طول واقعی را ثابت نگه دارید و طول روی هر نقشه را جدا پیدا کنید؛ قضاوت از روی بزرگی عددها به‌تنهایی کافی نیست.
اگر تصویر بزرگ یا کوچک شده باشد، خط‌کش چه چیزی می‌گوید؟
فرض کنید نقشه‌ای با مقیاس «۱ به ۳۰۰۰» را در هر دو جهت با ضریب ۲ بزرگ کنیم. یک مسیر که در نسخه اصلی ۱ سانتیمتر بود، اکنون ۲ سانتیمتر است، اما طول واقعی آن همچنان ۳۰ متر مانده است. پس هر سانتیمتر نسخه تازه نماینده ۱۵ متر است و مقیاس تازه «۱ به ۱۵۰۰» خواهد بود.
بزرگ شدن نوشته «۱ به ۳۰۰۰» همراه تصویر، مقدار عددی آن را به‌روز نمی‌کند. به همین دلیل، طولی را که از نمایشگر یا نسخه چاپیِ تغییراندازه‌داده‌شده اندازه می‌گیرید، نباید بدون بررسی با مقیاس عددی نسخه اصلی تبدیل کنید. اگر طول در صورت سؤال داده شده، همان داده مبناست.
مقیاس خطی چه کمکی می‌کند؟
مقیاس خطی یک پاره‌خطِ مرجع با فاصله واقعیِ مشخص است. اگر این پاره‌خط همراه کل نقشه و به‌طور یکنواخت تغییر اندازه داده باشد، می‌توان طول مسیر را با طول فعلی آن مقایسه کرد. مثلاً اگر پاره‌خطِ نماینده ۶۰ متر روی نسخه فعلی ۳ سانتیمتر باشد، هر سانتیمتر این نسخه ۲۰ متر را نشان میدهد. اگر تصویر در یک جهت کشیده شده باشد یا مقیاس خطی جداگانه تغییر کرده باشد، این مقایسه قابل اتکا نیست.
مطالعه تکمیلی: تعریف مقیاس و کاربرد مقیاس خطی در راهنمای کتابخانه دانشگاه آریزونا؛ به زبان انگلیسی
تمرین مستقل: یک نقشه، دو جهت تبدیل
در نقشه‌ای با مقیاس «۱ به ۵۰۰۰»، یک مسیر شکسته از دو بخشِ ۲٫۴ و ۱٫۶ سانتی‌متری تشکیل شده است. طول واقعی کل مسیر را بر حسب متر پیدا کنید. سپس، مستقل از شکل این مسیر، بگویید برای نمایش یک پاره‌خط واقعیِ ۱۸۰ متری در همین مقیاس، باید چند سانتیمتر رسم کنیم. پیش از خواندن پاسخ، کنار هر خواسته بنویسید تبدیل از نقشه به واقعیت است یا برعکس.
پاسخ و کنترل با تبدیل برگشتی
هر سانتیمتر نقشه برابر ۵۰ متر واقعی است. مجموع دو بخش، ۴ سانتیمتر میشود؛ پس طول کل مسیر ۲۰۰ متر است. برای پاره‌خط واقعیِ ۱۸۰ متری، ۱۸۰ را بر ۵۰ تقسیم میکنیم و ۳٫۶ سانتیمتر به دست می‌آوریم.
کنترل برگشتی: ۲۰۰ متر با تقسیم بر ۵۰، همان ۴ سانتیمتر را میدهد؛ ۳٫۶ سانتیمتر هم با ضرب در ۵۰، به ۱۸۰ متر برمی‌گردد. اگر این کنترل با داده آغازین سازگار نیست، ابتدا واحدها و جهت تبدیل را بازبینی کنید.
جمع‌بندی و چک‌لیست حل مسائل مقیاس نقشه
در مقیاس نقشه، سه تصمیم را پیش از محاسبه بگیرید: کدام طول خواسته شده، واحد هر مقدار چیست و تبدیل در کدام جهت انجام میشود؟ برای شروع تمرین، یک مقیاس انتخاب کنید و یک طول را رفت‌وبرگشت تبدیل کنید؛ سپس دو مقیاس متفاوت یا یک مسیر چندبخشی را مقایسه کنید. برای ششم می‌توان از طول‌های صحیح آغاز کرد؛ برای نهم یا دانش‌آموز آماده‌تر، تغییر اندازه نسخه و طول‌های اعشاری را افزود.
والدین می‌توانند از دانش‌آموز بخواهند جمله «هر سانتیمتر این نقشه نماینده ... است» را کامل کند و دلیل واحد پاسخ را بگوید. هدف، روشن‌شدن رابطه‌ها و پیدا کردن منشأ خطاست؛ این روش نتیجه آزمون را تضمین نمی‌کند. اگر انتخاب سطح تمرین یا هماهنگی آن با برنامه آمادگی دشوار است، می‌توانید برای بررسی مسیر از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
- دو طرف مقیاس عددی را با واحد یکسان خوانده‌ام.
- طول روی نقشه را از طول واقعی جدا نوشته‌ام.
- طول کل مسیر را با فاصله مستقیم دو نقطه اشتباه نگرفته‌ام.
- واحد مقدار میانی را تا تبدیل نهایی نگه داشته‌ام.
- از تصویر تغییراندازه‌داده‌شده بدون مرجع معتبر اندازه نگرفته‌ام.
- پاسخ را با تبدیل برگشتی کنترل کرده‌ام.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان از مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
مقیاس «۱ به ۲۵۰۰» یعنی هر سانتیمتر نقشه چند متر است؟
هر سانتیمتر نقشه برابر ۲۵۰۰ سانتیمتر واقعی است. چون هر متر ۱۰۰ سانتیمتر دارد، این مقدار برابر ۲۵ متر میشود. دو طرف مقیاس عددی ابتدا باید با یک واحد خوانده شوند.
در مسائل مقیاس، چه وقت ضرب و چه وقت تقسیم کنیم؟
در نقشه کوچکشده و با واحد یکسان، برای تبدیل طول نقشه به طول واقعی در عدد دوم مقیاس ضرب میکنیم؛ برای تبدیل طول واقعی به طول روی نقشه بر آن تقسیم میکنیم. اگر رابطه را به شکل «هر سانتیمتر برابر چند متر» نوشتهاید، تبدیل واحد در همان رابطه انجام شده است.
آیا جمع طول بخشهای مسیر، فاصله مستقیم شروع تا پایان است؟
لزومی ندارد. جمع طول بخشها، طول مسیر پیمودهشده را میدهد. برای فاصله مستقیم، باید طول خط اتصال شروع و پایان را با اطلاعات کافی پیدا کنید و سپس مقیاس را به کار ببرید.
می‌توان طول نقشه را از روی عکس یا نمایشگر اندازه گرفت؟
فقط وقتی مرجع اندازه معتبر باشد. مقیاس عددی نسخه اصلی ممکن است پس از تغییر اندازه تصویر دیگر درست نباشد. طول داده‌شده در سؤال را مبنا بگیرید؛ برای اندازه‌گیری از تصویر، مقیاس خطی باید همراه نقشه و به‌طور یکنواخت تغییر اندازه یافته باشد.