برای شمارش اشکال هندسی در تمرینهای تیزهوشان، نگاه‌کردن پراکنده به تصویر کافی نیست. ابتدا باید دقیقاً بدانید چه شکلی خواسته شده، سپس شکل‌ها را بر اساس اندازه، جهت و نقطه شروع دسته‌بندی کنید و هر مورد را فقط یک بار ثبت کنید. این راهنما یک روش قابل کنترل برای شمارش مربع و مثلث به دانش‌آموزان ششم و نهم می‌دهد. همه طرحها و تمرینهای متن تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
پیش از شمارش، تعریف شکلِ خواسته‌شده را روشن کنید
اولین خطا معمولاً در شمارش نیست؛ در خواندن خواسته است. اگر سؤال مربع می‌خواهد، مستطیل‌های غیرمربع را وارد فهرست نکنید. اگر همه مثلث‌ها خواسته شدهاند، مثلث‌های کوچک و مثلث‌هایی را که از چند قطعه ساخته میشوند باید جدا ببینید. مرز شکل نیز باید کامل باشد؛ سه خطی که به هم نمی‌رسند یک مثلث بسته نمی‌سازند.
پیش از شروع، خواسته را در یک عبارت کوتاه بازنویسی کنید: «همه مربع‌های کامل، در هر اندازه» یا «همه مثلث‌های کامل، در هر دو جهت». این جمله معیار پذیرش هر مورد است و مانع می‌شود در میانه حل، تعریف خود را تغییر دهید.
- نوع شکل را مشخص کرده‌ام: مربع، مثلث، مستطیل یا همه شکل‌ها.
- می‌دانم شکلهای ترکیبی هم باید شمرده شوند یا نه.
- فقط مرزهای کامل و واقعاً متصل را می‌پذیرم.
- اگر جهت مهم است، جهت‌های متفاوت را جدا ثبت می‌کنم.
تصویر را به کوچک‌ترین واحدهای قابل نام‌گذاری تقسیم کنید
روی طرح، رأس‌ها یا خانه‌ها را با نشانه‌های کوتاه نام‌گذاری کنید. در شبکه مربع‌ها می‌توانید ردیف و ستون را مبنا بگیرید؛ در طرح مثلثی، رأس‌ها را با حروف مشخص کنید. نام‌گذاری کمک می‌کند به‌جای عبارت مبهم «آن شکل سمت راست»، مرز دقیق هر شکل را ثبت کنید.
کوچک‌ترین شکل‌ها نقطه شروع‌اند، نه پایان کار. پس از شمارش آن‌ها، بررسی کنید کدام همسایه‌ها با هم یک شکل بزرگ‌تر و کامل می‌سازند. هر شکل بزرگ را با مرز بیرونی‌اش تشخیص دهید؛ خطهای داخلی وجود آن را از بین نمی‌برند.
برای ساختن فهرست کامل و بدون تکرار، روش شمارش حالت‌های ممکن را هم ببینید.
یک ترتیب ثابت بسازید: اندازه، جهت، سپس نقطه شروع
برای شبکه مربع‌ها، ابتدا مربع‌های یک‌خانه‌ای، سپس دوخانه‌ای و بعد اندازه‌های بزرگ‌تر را بررسی کنید. در هر اندازه، از یک گوشه ثابت حرکت کنید و جای گوشه آغاز هر مربع را ثبت کنید. برای مثلث‌ها نیز می‌توانید ابتدا اندازه و سپس جهت رو به بالا یا رو به پایین را جدا کنید.
این ترتیب فقط برای سریع‌تر شدن نیست؛ مدرکی برای کامل بودن شمارش می‌سازد. اگر در پایان فقط یک عدد نوشته باشید، تشخیص جاافتادگی دشوار است. اما جدولی با ستون‌های «اندازه»، «جهت»، «نشانی شکل» و «تعداد» نشان می‌دهد هر مورد از کجا آمده است.
نشانی هر شکل را چگونه بنویسیم؟
در شبکه، ردیف و ستون گوشه بالا و چپ را بنویسید. در طرح آزاد، رأس‌های مرز را به ترتیب دور شکل ثبت کنید. اگر دو بار به همان مجموعه رأس‌ها رسیدید، شکل تازه‌ای پیدا نکرده‌اید؛ فقط مسیر شمارش را تکرار کرده‌اید.
مثال تألیفی مربع‌ها: شبکه دو در دو را منظم بشمارید
یک مربع بکشید و با یک خط افقی و یک خط عمودی که از مرکز می‌گذرند، آن را به چهار مربع برابر تقسیم کنید. پرسش این است: چند مربع کامل در شکل دیده می‌شود؟ ابتدا فقط مربع‌های کوچک را بشمارید؛ چهار مربع یک‌خانه‌ای داریم.
اکنون اندازه بعدی را بررسی کنید. مرز بیرونی، یک مربع بزرگ می‌سازد که هر چهار خانه را در بر می‌گیرد. مربع دیگری با این اندازه و نقطه شروع وجود ندارد. بنابراین چهار مربع کوچک به‌علاوه یک مربع بزرگ، در مجموع پنج مربع می‌شود. خطهای میانی مانع شمردن مربع بزرگ نیستند، چون مرز بیرونی آن کامل است.
چرا مستطیل‌های باریک را نشمردیم؟
دو خانه کنار هم یک مستطیل می‌سازند، اما طول و عرض آن برابر نیست. چون خواسته فقط مربع بوده، این مستطیل‌ها نباید به پاسخ اضافه شوند. اگر سؤال همه مستطیل‌ها را می‌خواست، تعریف و جدول شمارش باید از ابتدا تغییر می‌کرد.
برای تفکیک ویژگی اصلی از تفاوت فرعی، راهنمای پیدا کردن شکل متفاوت را تمرین کنید.
در مثلث‌ها، مرز شکلهای ترکیبی را با انگشت یا مداد دنبال کنید
در طرح‌های مثلثی، شکلهای بزرگ ممکن است از چند ناحیه کوچک ساخته شده باشند. برای هر مثلث پیشنهادی، از یک رأس شروع کنید و سه ضلع را تا بازگشت به همان رأس دنبال کنید. اگر در میانه یکی از ضلع‌ها قطع شود، خم شود یا به رأس لازم نرسد، آن مورد مثلث کامل نیست.
جهت را نیز ثبت کنید. شمردن همه مثلث‌های رو به بالا و سپس برگشتن برای مثلث‌های وارونه، از حرکت تصادفی میان جهت‌ها مطمئن‌تر است. چرخاندن کاغذ ممکن است دیدن یک جهت را آسان کند، اما شکل تازه‌ای ایجاد نمی‌کند؛ همان مرز را دوباره نشمارید.
برای جدا کردن چرخش از قرینه و جابه‌جایی، آموزش هوش فضایی را بخوانید.
مثال تألیفی مثلث‌ها: کوچک‌ها و کل شکل را جدا ثبت کنید
یک مثلث بزرگ رسم کنید. وسط هر ضلع را علامت بزنید و سه نقطه میانی را به هم وصل کنید. شکل به چهار مثلث کوچک تقسیم می‌شود: سه مثلث در گوشه‌ها و یک مثلث وارونه در مرکز. ابتدا این چهار مورد را با نام رأس‌ها یا جایگاهشان ثبت کنید.
مرز بیرونی نیز یک مثلث کامل است؛ پس باید یک مورد دیگر اضافه شود. در این طرح مشخص، مثلثی با اندازه میانی ساخته نشده است، زیرا انتخاب چند قطعه کنار هم سه ضلع مستقیم و کامل لازم را فراهم نمی‌کند. پاسخ نهایی پنج مثلث است: چهار مثلث کوچک و یک مثلث بزرگ.
چگونه مطمئن شویم شکل خیالی نساخته‌ایم؟
سه ضلع مورد ادعا را جداگانه نشان دهید و دو سر هر ضلع را مشخص کنید. اگر برای بستن شکل مجبورید خطی را در ذهن ادامه دهید یا از مرزی استفاده کنید که در طرح نیست، آن شکل وجود ندارد.
تمرین مستقل: مربع‌های شبکه دو در سه را بشمارید
یک مستطیل شبکه‌ای با دو ردیف و سه ستون از خانه‌های مربع هم‌اندازه بکشید. فقط مربع‌ها را بشمارید. پیش از خواندن پاسخ، جدولی بسازید و مربع‌های هر اندازه را با گوشه آغازشان ثبت کنید. این تمرین تألیفی است و به آزمون رسمی تعلق ندارد.
پاسخ: شش مربع یک‌خانه‌ای وجود دارد. مربع دو در دو را می‌توان یک بار با دو ستون سمت چپ و یک بار با دو ستون سمت راست ساخت؛ پس دو مربع بزرگ‌تر داریم. چون شبکه فقط دو ردیف دارد، مربع سه در سه ساخته نمی‌شود. پاسخ نهایی هشت مربع است.
یک تغییر برای سنجش فهم
یک ستون از شبکه حذف کنید و دوباره از ابتدا بشمارید. سپس به‌جای حفظ پاسخ قبلی، توضیح دهید کدام نقطه‌های شروع دیگر در دسترس نیستند. اگر روش درست منتقل شده باشد، تغییر اندازه شبکه شما را به شمارش پراکنده برنمی‌گرداند.
پاسخ را با یک مسیر دوم کنترل کنید
پس از پایان شمارش، همان تصویر را این بار از اندازه بزرگ به کوچک یا از جهت مخالف بررسی کنید. هدف، ساختن فهرست دوم و جمع‌زدن دوباره نیست؛ هر مورد را با جدول اصلی تطبیق دهید و فقط موارد جاافتاده یا تکراری را علامت بزنید.
فرمول می‌تواند برای شبکه‌های منظم ابزار کنترل باشد، اما جای تشخیص مرز را نمی‌گیرد. در طرح نامنظم، بخشی از یک ضلع ممکن است حذف شده باشد یا خانه‌ها اندازه یکسان نداشته باشند. پیش از استفاده از هر الگو، بررسی کنید فرض‌های آن واقعاً در تصویر برقرار است.
برای تبدیل تصویر به جدول ویژگی و آزمودن قاعده، راهنمای ماتریس تصویری را ببینید.
هر خطای شمارش را به تمرین مشخص تبدیل کنید
اگر شکلهای بزرگ را جا می‌اندازید، پس از کوچک‌ترین واحدها یک دور فقط مرزهای بیرونی را بررسی کنید. اگر دوباره می‌شمارید، برای هر شکل نشانی بنویسید. اگر مستطیل و مربع را مخلوط می‌کنید، پیش از شمارش تعریف شکل خواسته‌شده را با زبان خودتان بگویید.
تمرین بعدی باید همان منشأ خطا را هدف بگیرد. حل تعداد زیادی تصویر تازه بدون دانستن اینکه خطا از تشخیص مرز، تغییر جهت یا ثبت نامنظم بوده، لزوماً روش را بهتر نمی‌کند. پس از دیدن پاسخنامه نیز تصویر را کنار بگذارید و شمارش را روی طرحی مشابه اما تازه تکرار کنید.
برای تبدیل پاسخنامه به بازحل مستقل، روش خواندن پاسخنامه تشریحی را اجرا کنید.
برای انتخاب زمان مناسب تمرین آموزشی و آزمونک زمان‌دار، راهنمای تست‌زنی را بخوانید.
تمرین ششم و نهم را از روش‌محور به زمان‌دار ببرید
برای هر دو پایه، ابتدا طرحی انتخاب کنید که دانش‌آموز بتواند همه موارد را نام‌گذاری و دلیل کامل بودن مرزها را توضیح دهد. سپس تراکم خط‌ها، تعداد جهت‌ها یا اندازه‌های ممکن را به‌تدریج بیشتر کنید. دشوارتر کردن هم‌زمان همه ویژگی‌ها، محل خطا را پنهان می‌کند.
زمان را پس از شکل‌گیری ترتیب شمارش اضافه کنید. در مجموعه زمان‌دار نیز جدول می‌تواند کوتاه‌تر شود، اما نباید کاملاً حذف شود تا حل دوباره به حدس دیداری تبدیل نشود. معیار پیشرفت، فقط رسیدن به عدد درست نیست؛ فهرست باید کامل، بدون تکرار و قابل بازبینی باشد.
تمرین تصویری را در مسیر آمادگی تیزهوشان ششم به هفتم جای‌گذاری کنید.
برای هماهنگ کردن تمرین تحلیلی با درس مدرسه، راهنمای تیزهوشان نهم به دهم را ببینید.
جمع‌بندی: عدد نهایی باید پشتوانه یک فهرست روشن داشته باشد
در شمارش اشکال هندسی، خواسته را دقیق تعریف کنید، کوچک‌ترین واحدها را نام‌گذاری کنید و اندازه‌ها و جهت‌ها را با ترتیب ثابت پیش ببرید. هر شکل را با مرز یا نشانی‌اش ثبت کنید، شکلهای ترکیبی را جدا بررسی کنید و در پایان از مسیر مخالف جدول را بازبینی کنید.
این روش می‌تواند جاافتادگی و دوباره‌شماری را کمتر کند، اما نتیجه آزمون را تضمین نمی‌کند. اگر انتخاب سطح تمرین یا ساختن برنامه متعادل دشوار است، می‌توانید برای بررسی مسیر آمادگی از مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) کمک بگیرید.
- خواسته و تعریف شکل را پیش از شمارش نوشته‌ام.
- شکل‌ها را بر اساس اندازه و جهت دسته‌بندی کرده‌ام.
- برای هر مورد یک نشانی یا مرز قابل اشاره دارم.
- شکل ناقص، شکل خیالی و مورد تکراری را حذف کرده‌ام.
- پاسخ را با یک مسیر شمارش متفاوت کنترل کرده‌ام.
درخواست مشاوره آمادگی آزمون تیزهوشان از مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری)
پرسش‌های پرتکرار
برای شمارش اشکال هندسی از شکلهای کوچک شروع کنیم یا بزرگ؟
هر دو ترتیب ممکن است، اما یک ترتیب ثابت لازم است. شروع از کوچک‌ترین اندازه معمولاً نام‌گذاری واحدها را آسان می‌کند؛ در پایان می‌توانید از بزرگ به کوچک بازبینی کنید تا موارد جاافتاده پیدا شوند.
خطهای داخل یک مربع یا مثلث باعث میشوند شکل بزرگ را نشماریم؟
خیر. اگر مرز بیرونی شکل کامل باشد، وجود خطهای داخلی آن شکل را از بین نمیبرد. خطهای داخلی ممکن است شکلهای کوچکتر دیگری نیز بسازند که باید جداگانه بررسی شوند.
چگونه از دوباره‌شمردن یک شکل جلوگیری کنیم؟
برای هر شکل، اندازه، جهت و یک نشانی ثابت مانند گوشه آغاز یا مجموعه رأس‌ها را ثبت کنید. دو مسیر متفاوت دور همان مرز، دو شکل جدا نیستند.
آیا مثالهای شمارش این مقاله از آزمون رسمی تیزهوشان هستند؟
خیر. همه طرحها و تمرینهای این مقاله برای آموزش روش شمارش تألیف شدهاند و به دفترچه یا دوره مشخصی نسبت داده نمیشوند.