برای تشخیص تقارن چرخشی در تیزهوشان، شکل را حول مرکز مشخص‌شده بچرخانید و بررسی کنید در چه زاویه‌ای تمام نقش، از مرز بیرونی تا رنگ و نشانه‌ها، دوباره بر شکل اولیه منطبق میشود. نخستین زاویه مثبتِ انطباق و تعداد انطباق‌ها در یک دور کامل، دو پاسخ متفاوت‌اند. در این راهنمای ششم و نهم، با رسم چند نقش ساده یاد می‌گیرید هرکدام را پیدا کنید. همه مثال‌ها تألیفی‌اند و سؤال رسمی آزمون نیستند.
تقارن چرخشی یعنی پس از چرخیدن چه چیزی ثابت بماند؟
فرض کنید از یک نقش، دو نسخه یکسان دارید. نسخه زیرین ثابت می‌ماند و نسخه رویی را حول یک نقطه ثابت می‌چرخانید. اگر پیش از تمام‌شدن یک دور، همه خط‌ها و نشانه‌های نسخه رویی دقیقاً بر همتای خود در نسخه زیرین بنشینند، نقش تقارن چرخشی دارد. جابه‌جایی کل نقش یا پشت‌ورو کردن برگه مجاز نیست.
منطبق‌شدن به این معنی نیست که هر جزء حتماً به جای اولیه خودش برگردد؛ می‌تواند جای یک جزء کاملاً همانند را بگیرد. برای مثال، یک دایره سیاه می‌تواند بر دایره سیاه هم‌اندازه دیگری بنشیند، اما نشستن آن بر دایره توخالی، انطباق کامل نیست. اگر حروف یا شماره‌ها بخشی از شکل باشند، آن‌ها هم باید بررسی شوند.
برای کنترل عملی، نقش را روی کاغذ نازک رونویسی کنید، مرکز دو نسخه را روی هم نگه دارید و فقط نسخه رویی را بچرخانید. ابتدا نتیجه را پیش‌بینی کنید و بعد با حرکت کاغذ بسنجید؛ وگرنه ممکن است دست‌ورزی جای توضیح روش را بگیرد.
برای شناخت تفاوت چرخش، جابه‌جایی و قرینه، راهنمای هوش تصویری و فضایی را ببینید.
از یک مربع ساده، زاویه‌های نامزد را پیدا کنید
یک مربع بدون رنگ، نوشته یا علامت اضافه رسم کنید. مرکز چرخش، محل برخورد قطرهای آن است؛ قطرها را فقط برای یافتن مرکز به کار ببرید. با چرخش ۹۰ درجه، هر ضلع جای ضلع بعدی می‌نشیند و شکل با نسخه ثابت یکسان میشود. چرخش‌های ۱۸۰، ۲۷۰ و ۳۶۰ درجه نیز همین نتیجه را دارند.
کمترین زاویه مثبت انطباق این مربع ۹۰ درجه است. چرا کمتر نیست؟ هر رأس باید به محل یکی از رأس‌های مربع ثابت برسد و فاصله زاویه‌ای دو رأس پیاپی حول مرکز ۹۰ درجه است. با چرخش کوچک‌تر، رأس به جای هیچ رأس دیگری نمی‌رسد؛ پس شکل کامل هم منطبق نمیشود.
مرز بیرونی راهی برای محدود کردن زاویه‌های نامزد است. اگر درون همین مربع علامتی بگذارید، زاویه‌های معتبر باید هم شرط مربع و هم شرط علامت را رعایت کنند. افزودن علامت به یک قابِ ثابت نمی‌تواند زاویه نامعتبرِ آن قاب را معتبر کند.
مثال حل‌شده: رنگ‌گذاری، تقارن مربع را تغییر میدهد
روی هر رأس مربع یک دایره کوچک و هم‌اندازه بکشید. دایره بالا و چپ و دایره پایین و راست را سیاه کنید؛ دو دایره دیگر توخالی بمانند. مرز مربع و این چهار دایره، با هم نقش مورد بررسی‌اند. مرکز همان مرکز مربع است.
چرخش یک‌چهارم دور را با رنگ‌ها کنترل کنید
پس از چرخش ۹۰ درجه در جهت عقربه‌های ساعت، دایره سیاه بالا و چپ به بالا و راست می‌رود؛ در نسخه ثابت، آن جایگاه توخالی است. بنابراین ۹۰ درجه رد میشود، هرچند مرز مربع کاملاً منطبق است. در ۲۷۰ درجه نیز جایگاه‌های سیاه و توخالی با هم عوض میشوند.
نیم‌دور، هر نشانه را به همتای خودش می‌رساند
در چرخش ۱۸۰ درجه، دو دایره سیاه جای هم را می‌گیرند و دو دایره توخالی نیز جابه‌جا میشوند. رنگ، اندازه و مرز بیرونی هم‌زمان سازگارند؛ پس این زاویه معتبر است. در یک دور کامل هم نقش برمی‌گردد. فهرست انطباق‌ها در این مثال، ۱۸۰ و ۳۶۰ درجه است و کمترین زاویه مثبت ۱۸۰ درجه میشود.
با تغییر فقط یک رنگ، دوباره حل کنید
این بار فقط دایره بالا و چپ سیاه باشد و هر سه دایره دیگر توخالی باشند. هیچ‌یک از چرخش‌های ۹۰، ۱۸۰ و ۲۷۰ درجه، دایره سیاه را به جای یک دایره سیاه نمی‌رساند. نقش فقط پس از ۳۶۰ درجه بازمی‌گردد؛ پس با وجود قاب مربعی، تقارن چرخشیِ کمتر از یک دور ندارد.
مرتبه تقارن را چگونه بشماریم؟
مرتبه تقارن چرخشی، تعداد حالت‌های انطباق در یک دور کامل است. در این صفحه زاویه صفر را نمی‌شماریم و انطباق در ۳۶۰ درجه را یک بار حساب می‌کنیم. بنابراین مربع ساده مرتبه ۴ دارد، مربع با دو دایره سیاه مقابل هم مرتبه ۲ دارد و نقش با یک دایره سیاه مرتبه ۱ دارد. مرتبه ۱ یعنی انطباقی پیش از پایان دور کامل وجود ندارد.
برای نقش‌هایی با تعداد محدود حالت‌های انطباق، اگر کمترین زاویه مثبت بازگشت را درست یافته باشید، می‌توانید بنویسید: «مرتبه = ۳۶۰ ÷ کمترین زاویه مثبت بازگشت». برای مثال، زاویه ۱۲۰ درجه مرتبه ۳ میدهد. برعکس، در یک نقش با مرتبه ۶، کمترین زاویه ۶۰ درجه است.
هر زاویه معتبری را در این رابطه نگذارید. مربع ساده در ۱۸۰ درجه هم منطبق میشود، اما تقسیم ۳۶۰ بر ۱۸۰، مرتبه واقعی آن را نشان نمی‌دهد؛ چون انطباق کوچک‌ترِ ۹۰ درجه را نادیده گرفته‌اید. نخست کمترین زاویه را اثبات کنید، سپس تقسیم کنید. دایره کاملاً ساده حالت متفاوتی دارد: با هر زاویه‌ای منطبق میشود و کمترین زاویه مثبت معینی ندارد.
تعریف مرتبه تقارن و قرارداد مرتبه یک در آموزش هندسه دانشگاه آزاد بریتانیا
تقارن چرخشی، مرکزی و محوری را جدا تشخیص دهید
تقارن مرکزی یعنی شکل با چرخش ۱۸۰ درجه حول مرکز بر خودش منطبق شود. پس برای این ویژگی، مشخصاً نیم‌دور را آزمایش کنید. هر نقش دارای تقارن مرکزی، تقارن چرخشی هم دارد؛ اما یک نقش می‌تواند تقارن چرخشی داشته باشد و در نیم‌دور منطبق نشود.
برای نمونه، یک مثلث متساوی‌الاضلاع بدون علامت، حول مرکز خود با زاویه ۱۲۰ درجه برمی‌گردد و مرتبه ۳ دارد. چرخش ۱۸۰ درجه آن را بر خودش منطبق نمی‌کند. این مثال نشان میدهد «تقارن چرخشی دارد» به‌تنهایی برای نتیجه‌گرفتن تقارن مرکزی کافی نیست.
در تقارن محوری، بازتاب نسبت به یک خط را می‌سنجیم، نه چرخش حول نقطه را. برای تشخیص آن، برگه را در امتداد محور فرضی تا می‌کنیم. تعداد محورهای تقارن را به جای مرتبه چرخشی ننویسید؛ این دو پرسش به دو تبدیل متفاوت مربوط‌اند.
برای بررسی بازتاب نسبت به خط، آموزش تصویر در آینه را تمرین کنید.
تمرین مستقل: شش جایگاه، دو رنگ
یک دایره رسم کنید و روی محیط آن، در فاصله‌های زاویه‌ای برابرِ ۶۰ درجه، شش دایره کوچک هم‌اندازه بگذارید. از بالاترین جایگاه، در جهت عقربه‌های ساعت، آن‌ها را به‌ترتیب «سیاه، توخالی، سیاه، توخالی، سیاه، توخالی» کنید. حرف یا شماره‌ای به نقش اضافه نکنید. مرکز چرخش، مرکز دایره بزرگ است.
پیش از خواندن پاسخ، کمترین زاویه مثبت بازگشت، همه زاویه‌های انطباق در یک دور و مرتبه تقارن را بنویسید. همچنین تعیین کنید نقش تقارن مرکزی دارد یا نه. برای رد زاویه نادرست، کافی است یک دایره را نشان دهید که به جایگاه ناسازگار می‌رود؛ برای تأیید، همه جایگاه‌ها را کنترل کنید.
پاسخ و دلیل
مرکز هر دایره کوچک باید به یکی از شش جایگاه برسد؛ پس زاویه‌های نامزد مضرب ۶۰ درجه‌اند. در چرخش ۶۰ درجه، هر دایره سیاه جای دایره توخالی قرار می‌گیرد؛ بنابراین این زاویه نامعتبر است. در ۱۲۰ درجه، هر دایره دو جایگاه جلو می‌رود و بر همتای هم‌رنگش می‌نشیند. زاویه کوچک‌تر از ۶۰ درجه جایگاه‌ها را منطبق نمی‌کند و تنها نامزدِ مثبتِ کمتر از ۱۲۰ درجه، همان ۶۰ درجه ردشده است. پس کمترین زاویه ۱۲۰ درجه است.
زاویه‌های انطباق با قرارداد این صفحه، ۱۲۰، ۲۴۰ و ۳۶۰ درجه‌اند؛ مرتبه برابر ۳ است. چرخش ۱۸۰ درجه هر دایره را سه جایگاه جلو می‌برد و رنگ‌ها را جابه‌جا می‌کند؛ بنابراین نقش تقارن مرکزی ندارد.
تعداد رنگ‌ها را نگه دارید، آرایش را عوض کنید
اکنون ترتیب ساعت‌گرد را به «سیاه، سیاه، سیاه، توخالی، توخالی، توخالی» تغییر دهید. هنوز سه دایره از هر نوع دارید، اما هیچ چرخشِ کمتر از یک دور، تمام جایگاه‌های رنگی را منطبق نمی‌کند. برای کنترل، چرخش‌های ۶۰، ۱۲۰، ۱۸۰، ۲۴۰ و ۳۰۰ درجه را بررسی کنید؛ در هرکدام دست‌کم یک رنگ ناسازگار میشود. مرتبه این نقش ۱ است. تعداد اجزای هم‌رنگ به‌تنهایی مرتبه تقارن را تعیین نمی‌کند.
برگه حل را با این چک‌لیست بازبینی کنید
کنار هر زاویه نامزد، دو بررسی کوتاه بنویسید: «مرز بیرونی منطبق است؟» و «تمام نشانه‌ها منطبق‌اند؟». اگر پاسخ غلط شد، مشخص کنید کدام بررسی جا افتاده است. برای شروع، نقش را روی کاغذ کنترل کنید؛ پس از اینکه دلیل هر پذیرش یا رد روشن شد، همان کار را روی نقش تازه و بدون چرخاندن کاغذ انجام دهید.
- مرکز چرخش را ثابت نگه داشته‌ام و نقش را جابه‌جا یا پشت‌ورو نکرده‌ام.
- رنگ، اندازه و جهت نشانه‌ها را همراه با قاب بررسی کرده‌ام.
- برای کمترین‌بودن زاویه، نامزدهای کوچک‌تر را رد کرده‌ام.
- صفر و ۳۶۰ درجه را با هم به‌عنوان دو حالت جدا نشمرده‌ام.
- مرتبه چرخشی، زاویه بازگشت و تعداد محورهای تقارن را از هم جدا نوشته‌ام.
برای به‌کاربردن تقارن به‌عنوان معیار مقایسه گزینه‌ها، تمرین شکل متفاوت را ببینید.
جمع‌بندی: تقارن را برای تمام نقش بسنجید
در تمرین تقارن چرخشی، ابتدا مرکز و اجزای نقش را مشخص کنید. از شکل بیرونی زاویه‌های نامزد را به دست آورید، سپس نشانه‌ها را در همان زاویه‌ها کنترل کنید. کمترین زاویه معتبر را از تعداد انطباق‌ها جدا بنویسید و برای تقارن مرکزی، اعتبار ۱۸۰ درجه را مستقلاً بسنجید.
یک تمرین بعدی ساده این است که رنگ فقط یکی از اجزای نقش خودتان را تغییر دهید و پیش از چرخاندن کاغذ، اثر آن را بر تقارن پیش‌بینی کنید. این کار می‌تواند دلیل پاسخ را روشن‌تر کند. اگر برای انتخاب سطح تمرین هوش تصویری و جای آن در برنامه آمادگی به راهنمایی نیاز دارید، مسیر مشاوره آزمون تیزهوشان مؤسسه مشاوره رندو (استاد سروش جباری) در دسترس است.
درخواست مشاوره برای تنظیم تمرین و برنامه آمادگی آزمون تیزهوشان
پرسش‌های پرتکرار
آیا هر مربع، مرتبه تقارن چرخشی چهار دارد؟
مربع ساده و بدون علامت، حول مرکز خود مرتبه ۴ دارد. اگر رنگ، نوشته یا نشانه‌ای بخشی از نقش باشد، باید آن را نیز بررسی کنید؛ نشانه‌گذاری می‌تواند مرتبه را کاهش دهد.
صفر و سیصدوشصت درجه را هر دو میشماریم؟
خیر. این دو، یک حالت را نشان میدهند. در قرارداد این صفحه صفر شمرده نمیشود و ۳۶۰ درجه یک بار شمرده میشود. برای مربع ساده، چهار زاویه ۹۰، ۱۸۰، ۲۷۰ و ۳۶۰ درجه ثبت میشوند.
آیا داشتن تقارن چرخشی یعنی شکل تقارن مرکزی هم دارد؟
خیر. تقارن مرکزی مشخصاً به انطباق در ۱۸۰ درجه نیاز دارد. مثلث متساوی‌الاضلاع ساده با چرخش ۱۲۰ درجه منطبق میشود، اما با ۱۸۰ درجه منطبق نمیشود.
چرا از تعداد نقطهها نمیتوان مرتبه تقارن را فهمید؟
جای نقطهها و ویژگیهایشان هم تعیینکننده است. در تمرین ششجایگاهی این صفحه، رنگآمیزی یکیدرمیان مرتبه ۳ میدهد، اما قرارگرفتن سه نقطه سیاه پشت سر هم، با همان تعداد نقطه، مرتبه ۱ میدهد.